Stel \(Y_{ij}\) de uitkomst van observatie \(i=1,\ldots, n_j\) uit populatie \(j=1,2\). We zullen dikwijls de term behandeling of groep gebruiken in plaats van populatie, zelfs wanneer de twee populaties niet geïnterpreteerd kunnen worden als behandelingen. Beschouw het als een (misgroeide) conventie. In de context van het voorbeeld is behandeling \(j=1\) de microbiële transplantatie en behandeling \(j=2\) de placebo behandeling.
We veronderstellen
\[Y_{ij}\text{ i.i.d. } N(\mu_j,\sigma^2)\;\;\;i=1,\ldots,n_i\;j=1,2.\]Merk op dat dit inhoudt dat gelijke varianties verondersteld worden. De eigenschap van gelijke varianties wordt ook aangeduid met de term homoskedasticiteit, en ongelijke varianties met heteroskedasticiteit.
We zijn geïnteresseerd in het testen van de nulhypothese
\[H_0: \mu_1 = \mu_2\]tegenover de alternatieve hypothese
\[H_1: \mu_1 \neq \mu_2 .\]De alternatieve hypothese drukt dus de onderzoeksvraag uit: een verschil
in relatieve abundantie van Staphylococcus spp. na microbiële
transplantatie t.o.v. de placebo behandeling.
De nul en alternatieve hypothese kunnen ook worden uitgedrukt in termen
van de effectgrootte tussen behandeling en placebo groep
\(\mu_1-\mu_2\):
We kunnen de effectgrootte in het experiment schatten a.d.h.v. de steekproefgemiddeldes:
\[\hat \mu_1-\hat \mu_2=\bar Y_1 -\bar Y_2.\]Gezien de experimentele eenheden onafhankelijk zijn, zijn de steekproefgemiddeldes dat ook en is de variantie op het verschil:
\[\text{Var}_{\bar Y_1 -\bar Y_2}=\frac{\sigma^2}{n_1}+\frac{\sigma^2}{n_2}=\sigma^2 \left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}\right).\]De standard error is bijgevolg:
\[\sigma_{\bar Y_1 -\bar Y_2}=\sigma\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}.\]We zouden de variantie apart kunnen schatten in elke groep aan de hand van de steekproefvariatie, maar als we gelijkheid van variantie kunnen veronderstellen kan de variantie meer precies worden geschat door gebruik te maken van alle gegevens in beide groepen. Deze variatieschatter wordt ook de gepoolde variantieschatter genoemd: \(S^2_p\).
Op basis van de observaties uit de eerste groep kan \(\sigma^2_1\) geschat worden als
\[S_1^2 = \frac{1}{n_1-1}\sum_{i=1}^{n_1} (Y_{i1}-\bar{Y}_1)^2.\]Analoog: op basis van de observaties uit de tweede groep kan \(\sigma^2_2\) geschat worden als
\[S_2^2 = \frac{1}{n_2-1}\sum_{i=1}^{n_2} (Y_{i2}-\bar{Y}_2)^2.\]Merk op dat we homoscedasticiteit veronderstellen, \(\sigma_1^2=\sigma_2^2=\sigma^2\). Dus \(S_1^2\) en \(S_2^2\) zijn schatters zijn voor dezelfde parameter \(\sigma^2\). Daarom kunnen ze gezamenlijk gebruikt worden om tot één schatter te komen die alle \(n_1+n_2\) observaties gebruikt:
\[S_p^2 = \frac{n_1-1}{n_1+n_2-2} S_1^2 + \frac{n_2-1}{n_1+n_2-2} S_2^2 = \frac{1}{n_1+n_2-2}\sum_{j=1}^2\sum_{i=1}^{n_j} (Y_{ij} - \bar{Y}_j)^2.\]De gepoolde variantieschatter wordt dus geschat door gebruik te maken van de kwadratische afwijkingen tussen de observaties en hun groepsgemiddelde en dat te delen door het aantal vrijheidsgraden \(n_1+n_2-2\).
Nu we de effectgrootte en de standard error op de effectgrootte hebben kunnen schatten, kunnen we opnieuw een t-statistiek definiëren (two-sample \(t\)-teststatistiek):
\[T = \frac{\bar{Y}_1-\bar{Y}_2}{\sqrt{\frac{S_p^2}{n_1}+\frac{S_p^2}{n_2}}} = \frac{\bar{Y}_1 - \bar{Y}_2}{S_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}.\]Als de data onafhankelijk zijn, de steekproefgemiddelden normaal verdeeld zijn en de variantie in beide groepen gelijk zijn, dan kan men aantonen de teststatistiek T opnieuw een t-verdeling volgt met \(n_1+n_2-2\) vrijheidsgraden onder de nulhypothese.
Aangezien de alternatieve hypothese \(H_1: \mu_1 \neq \mu_2\) impliceert dat de probabiliteitsmassa van de distributie van \(T\) onder \(H_1\) verschuift naar hogere of lagere waarden, zullen we \(H_0\) wensen te verwerpen ten gunste van \(H_1\) voor grote absolute waarde van de teststatistiek. De \(p\)-waarde wordt dus
\[\begin{eqnarray*} p&=&\text{P}_0\left[T\leq -|t|\right] + \text{P}_0\left[T\geq |t|\right]\\ &=&\text{P}_0\left[\vert T\vert \geq \vert t \vert\right]\\ &=&\text{P}_0\left[T \geq \vert t \vert\right]\times 2\\ &=& 2\times(1-F_T(\vert t\vert;n_1+n_2-2)), \end{eqnarray*}\]met \(F_T(\cdot;n_1+n_2-2)\) de cumulatieve distributiefunctie van \(t_{n_1+n_2-2}\).