Interpretatie 1
Een patiënt met een ESR1 expressie die 1 eenheid op de \(\log_2\) schaal hoger ligt dan dat van een andere patiënt heeft gemiddeld gezien een expressie-niveau van het S100A8 gen dat 1.61 eenheden lager ligt (95% BI \(-1.92,-1.31\)).
Merk op dat dit een crossectionele studie is, we kunnen met het model alleen maar uitspraken doen over verschillen tussen patiënten!
\[\log_2 \hat\mu_1=23.401 -1.615 \times \text{logESR}_1,\text{ } \log_2 \hat\mu_2=23.401 -1.615 \times \text{logESR}_2\] \[\log_2 \hat\mu_2-\log_2 \hat\mu_1= -1.615 (\log_2 \text{ESR}_2-\log_2 \text{ESR}_1) = -1.615 \times 1 = -1.615\]Interpretatie 2 Wanneer de data op log-schaal wordt gemodelleerd, worden na terugtransformatie geometrische gemiddelden bekomen. Ter illustratie herschrijven we bijvoorbeeld het rekenkundig gemiddelde op de log schaal:
\[\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n \frac{\log x_i}{n}&=&\frac{\log x_1 + \ldots + \log x_n}{n}\\\\ &\stackrel{(1)}{=}&\frac{\log(x_1 \times \ldots \times x_n)}{n}=\frac{\log\left(\prod\limits_{i=1}^n x_i\right)}{n}\\\\ &\stackrel{(2)}{=}&\log \left(\sqrt[\leftroot{-1}\uproot{2}\scriptstyle n]{\prod\limits_{i=1}^n x_i}\right) \end{eqnarray*}\]waarbij in overgang (1) en (2) wordt gesteund op de eigenschappen van logaritmen en \(\prod\) de product operator is. Na terug transformatie wordt dus een geometrisch gemiddelde \(\sqrt[\leftroot{-1}\uproot{2}\scriptstyle n]{\prod\limits_{i=1}^n x_i}\) bekomen.
In de onderstaande notatie worden de populatiegemiddelden \(\mu\) dus geschat a.d.h.v. geometrisch gemiddelden. Omdat de logaritmische transformatie een monotone transformatie is, kunnen we ook betrouwbaarheidsintervallen berekend op log-schaal terugtransformeren!
2^lm2$coef[2]
## log2ESR1
## 0.3265519
2^-lm2$coef[2]
## log2ESR1
## 3.0623
2^-confint(lm2)[2,]
## 2.5 % 97.5 %
## 3.786977 2.476298
Een patiënt met een ESR1 expressie die 2 keer zo hoog is als die van een andere patiënt, zal gemiddeld een S100A8-expressie hebben die 3.06 keer lager is (95% BI \(2.48,3.79\)).
\[\log_2 \hat\mu_1=23.401 -1.615 \times \text{logESR}_1,\text{ } \log_2 \hat\mu_2=23.401 -1.615 \times \text{logESR}_2\] \[\log_2 \hat\mu_2-\log_2 \hat\mu_1= -1.615 (\log_2 \text{ESR}_2-\log_2 \text{ESR}_1)\] \[\log_2 \left[\frac{\hat\mu_2}{\hat\mu_1}\right]= -1.615 \log_2\left[\frac{ \text{ESR}_2}{\text{ESR}_1}\right]\] \[\frac{\hat\mu_2}{\hat\mu_1}=\left[\frac{ \text{ESR}_2}{\text{ESR}_1}\right]^{-1.615}=2^ {-1.615} =0.326\]of
\[\frac{\hat\mu_1}{\hat\mu_2}=2^{1.615} =3.06\]Interpretatie 3 Een patiënt met een ESR1 expressie die 1% hoger is dan die van een andere patiënt zal gemiddeld een expressieniveau voor het S100A8 gen hebben dat ongeveer -1.61% lager is (95% BI \(-1.92,-1.31\))%.
\[\log_2 \hat\mu_1=23.401 -1.615 \times \text{logESR}_1,\text{ } \log_2 \hat\mu_2=23.401 -1.615 \times \text{logESR}_2\] \[\log_2 \hat\mu_2-\log_2 \hat \mu_1= -1.615 (\log_2 \text{ESR}_2-\log_2 \text{ESR}_1)\] \[\log_2 \left[\frac{\hat\mu_2}{\hat\mu_1}\right]= -1.615 \log_2\left[\frac{ \text{ESR}_2}{\text{ESR}_1}\right]\] \[\frac{\hat\mu_2}{\hat\mu_1}=\left[\frac{ \text{ESR}_2}{\text{ESR}_1}\right]^{-1.615}=1.01^ {-1.615} =0.984 \approx -1.6\%\]Merk op dat voor waarden van
\[−10< \beta_1<10 \rightarrow 1.01 ^{\beta_1}−1 \approx \frac{\beta_1}{100}.\]Dus voor log-getransformeerde predictoren met kleine tot gematigde waarden voor \(\beta_1\) kan de helling \(\beta_1\) als volgt geïnterpreteerd worden: een 1% toename in de predictor resulteert gemiddelde in een \(\beta_1\)% verschil in de uitkomst.