Leonhard Euler kon aantonen dat men \(\mathsf{\dfrac{\pi^2}{6}}\) kan uitrekenen door middel van een oneindig product. Namelijk als volgt:
\[\mathsf{\dfrac{\pi^2}{6} = \dfrac{2^2}{2^2 - 1} \cdot \dfrac{3^2}{3^2-1}\cdot \dfrac{5^2}{5^2-1}\cdot \dfrac{7^2}{7^2-1}\cdot \ldots}\]Aan het oneindig product wordt dus telkens een factor \(\mathsf{\dfrac{p^2}{p^2-1}}\) toevoegd, waarbij \(\mathsf{p}\) een priemgetal is.
Schrijf een functie is_priem(getal) dat gegeven een getal controleert of dit al dan niet priem is.
Schrijf een functie benadering_euler(aantal_factoren) dat bovenstaande benadering van \(\mathsf{\dfrac{\pi^2}{6}}\) uitrekent, afgerond op 6 cijfers na de komma. Het aantal factoren van de benadering wordt gegeven als argument in de functie.
De functie gebruikt uiteraard de vorige functie is_priem(getal).
Schrijf tot slot een programma dat aan de gebruiker een aantal factoren vraagt, de functie benadering_euler() gebruikt om een benadering voor \(\mathsf{\dfrac{\pi^2}{6}}\) bepaalt en daarna hieruit een benadering voor \(\pi\) uitrekent.
Tip: Als \(\mathsf{B}\) een benadering voor het product is, dan zal \(\mathsf{\pi \approx \sqrt{6\cdot B}}\) zijn… rond af op 4 decimalen.
Als de gebruiker bijvoorbeeld 4 intikt, dan levert
>>> benadering_euler(4)
1.595052
zodat de einduitvoer vervolgens dit is:
De benadering van pi met 4 factoren is: 3.0936
Tikt de gebruiker 100 in, dan is de uitvoer van:
>>> benadering_euler(100)
1.644515
zodat de einduitvoer vervolgens dit is:
De benadering van pi met 100 factoren is: 3.1412