We gaan vervolgens na hoe we kunnen toetsen of de risico’s verschillen tussen de vijandige en vriendelijke omgeving. Indien alle vrouwtjes in zowel de vijandige als vriendelijke omgeving dezelfde partnerkeuze hadden, dan was er geen informatie over de vraag of de omgeving geassocieerd is met de partnerkeuze. Enkel de discordante paren leveren hier informatie over. Als er meer discordante paren zijn waar een vrouwtje een agressief mannetje kiest na verblijf in een vijandige omgeving en een niet-agressief mannetje na een vriendelijke omgeving, dan discordante paren waar het vrouwtje een niet-agressief mannetje kiest na verblijf in een vijandige omgeving en een agressief mannetje kiest na een vriendelijke omgeving, dan is er een indicatie tegen de nulhypothese dat er geen associatie is tussen de partnerkeuze en de omgeving. Men kan daarom toetsen of de partnerkeuze geassocieerd is met de omgeving door de kans te evalueren dat in een lukraak discordant paar, het vrouwtje na verblijf in een vijandige omgeving kiest voor het agressieve mannetje. Deze kans wordt geschat als \(f/(f+g)\) en wordt verwacht in de buurt van 0.5 te liggen als de nulhypothese geldt dat er geen associatie is tussen partnerkeuze en omgeving. Meer bepaald volgt het getal \(f\) binnen de groep discordante paren onder de nulhypothese een Binomiale verdeling met parameters \(f+g\) en 0.5. De standaarddeviatie van \(f\) is bijgevolg gelijk aan
\[\begin{equation*} \sqrt{(f+g)\times 0.5\times 0.5}=\frac{\sqrt{f+g}}{2} \end{equation*}\]onder de nulhypothese. Op voorwaarde dat er voldoende observaties zijn, kan men nu de one-sample z-test gebruiken om te toetsen of de kans dat een lukraak discordant paar in de cel rechtsboven van de tabel gelegen is, 0.5 bedraagt. M.a.w. bekijken we het gestandaardiseerde verschil tussen \(f\) en haar verwachtingswaarde onder de nulhypothese:
\[\begin{equation*} \frac{f-(f+g)/2}{\sqrt{f+g}/2}=\frac{f-g}{\sqrt{f+g}} \end{equation*}\]die bij benadering een Normale verdeling volgt onder de nulhypothese. De Normale benadering is goed als
\[f \times g/(f+g) \geq 5\]De toets gebaseerd op bovenstaande toetsingsgrootheid heet de Mc Nemar toets.
In kleine steekproeven is het meer aangewezen om een continuïteitscorrectie te gebruiken d.m.v. de toetsingsgrootheid
\[\begin{equation*} \frac{|f-g|-1}{\sqrt{f+g}} \end{equation*}\]De Mc Nemar test wordt gebruikt om te toetsen of er een associatie is tussen 2 kwalitatieve, binaire variabelen, i.h.b. om te toetsen of de kans op succes voor de ene variabele verschilt tussen de 2 strata van de andere kwalitatieve variabele. Ze vereist dat alle metingen voor de ene kwalitatieve variabele (uitkomst) in het ene stratum van de andere kwalitatieve variabele, onafhankelijk zijn, en dat elke meting uit het ene stratum gepaard is met een meting uit het andere stratum in die zin dat ze van verwante subjecten afkomstig zijn. Op die manier vormt ze het analogon van de gepaarde t-test voor binaire, kwalitatieve i.p.v. continue variabelen.
We voeren nu de analyse uit voor het hamstervoorbeeld in R:
correct <- f*g/(f+g)
correct
## [1] 0.9444444
#continuiteitscorrectie
z <- (abs(f-g)-1)/sqrt(f+g)
z
## [1] 3.535534
p <- (1-pnorm(z))*2
p
## [1] 0.000406952
Voor het dwerghamster voorbeeld observeren we dat \(f\times g/(f+g)=\) 0.944 \(<5\). We zullen dus de continuïteitscorrectie uitvoeren. De McNemar toetsingsgrootheid bedraagt \((\vert 17-1 \vert -1)/\sqrt{17+1}=\) 3.54. De kans dat een Normaal verdeelde toevalsveranderlijke groter is dan 3.54 of kleiner is dan -3.54 bedraagt 0.0407% en stelt ook de p-waarde van de toets voor. We verwerpen bijgevolg de nulhypothese op het 5% significantieniveau en besluiten dat de parternkeuze extreem significant geassocieerd is met de omgeving.
In R kan de analyse ook worden uitgevoerd a.d.h.v. de mcnemar.test
functie
mcnemar.test(hamster)
##
## McNemar's Chi-squared test with continuity correction
##
## data: hamster
## McNemar's chi-squared = 12.5, df = 1, p-value = 0.000407
We zien dat hier eveneens de continuïteitscorrectie werd uitgevoerd en dat we exact dezelfde p-waarde bekomen.
Merk echter op dat de Normale benadering van deze toetstatistiek niet ideaal is omdat \(f \times g/(f+g)=\) 0.944 \(<5\). Bovenstaande p-waarde is om die reden niet accuraat.
Het is steeds meer aangewezen om een exacte toets te gebruiken op basis van het principe in Sectie 9.2.3. Dergelijke toetsen maken gebruik van de exacte Binomiale verdeling van de gegevens om te toetsen of de kans dat een lukraak discordant paar in de cel rechtsboven van de tabel gelegen is, 0.5 bedraagt.
binom.test(x = f,
n = f + g,
p = 0.5)
##
## Exact binomial test
##
## data: f and f + g
## number of successes = 17, number of trials = 18, p-value = 0.000145
## alternative hypothesis: true probability of success is not equal to 0.5
## 95 percent confidence interval:
## 0.7270564 0.9985944
## sample estimates:
## probability of success
## 0.9444444
Op basis van de exacte test besluiten we eveneens dat de parternkeuze extreem significant geassocieerd is met de omgeving (\(p<0.001\)). De kans op de keuze van een agressief mannetje ligt 47.1% hoger als een dwerghamster vrouwtje zich in een vijandige omgeving bevindt dan wanneer ze zich in een vriendelijke omgeving bevindt (95% BI \(28.4,65.7\)%).