De samenvattingsmaten uit de vorige sectie (gemiddelde, mediaan, standaarddeviatie, …) kunnen niet zomaar toegepast worden voor de beschrijving van categorische variabelen. In deze sectie gaan we hier dieper op in, daarbij onderscheid makend tussen enerzijds gegevens die uit prospectieve studies of lukrake steekproeven afkomstig zijn, en anderzijds gegevens uit retrospectieve studies.
Een bioloog verzamelt `s nachts bladerafval op een lukrake plaats van 1 m\(^2\) in 2 wouden, waarvan 1 met klei- en 1 met kalkgrond. Op elke plaats telt hij het aantal houtluizen van de species Armadilidium of Oniscus, met als doel na te gaan of de ene soort vaker voorkomt op kleigrond dan op kalkgrond. Tabel 8 toont de bekomen gegevens. Hier stelt \(a\) (\(c\)) het aantal houtluizen van de soort Armadilidium (Oniscus) voor op kleigrond, en \(b\) (\(d\)) het aantal houtluizen van de soort Armadilidium (Oniscus) op kalkgrond.
| Armadil. | Oniscus | Totaal | |
|---|---|---|---|
| Klei | 14 (a) | 6 (c) | 20 (a+c) |
| Kalk | 22 (b) | 46 (d) | 68 (b+d) |
| Totaal | 36 (a+b) | 52 (c+d) | 88 (n) |
Einde voorbeeld
Er zijn verschillende manieren om de resultaten van deze studie te beschrijven. De kans dat 1 van beide species houtluizen van de soort Armadilidium is, is \(p_{kl}=a/(a+c)=0.70\) of 70% op kleigrond en \(p_{ka}=b/(b+d)=0.32\) of 32% op kalkgrond.
Het absolute risico verschil of absolute kansverschil op een gegeven gebeurtenis (bvb. om Armadilidium aan te treffen) voor populatie T (Test, bvb. kleigrond) versus C (Controle, bvb. kalkgrond) wordt met ARV genoteerd en gedefinieerd als het verschil
\[\begin{equation*} ARV=p_T-p_C \end{equation*}\]tussen de kansen dat deze gebeurtenis zich voordoet in populaties T en C.
Einde definitie
Het ARV op Armadilidium tussen klei- en kalkgrond bedraagt 0.38, hetgeen suggereert dat de kans dat 1 van beide species houtluizen van de soort Armadilidium is, 38% hoger is op kleigrond dan op kalkgrond. Een absoluut kansverschil van 0 drukt uit dat de overeenkomstige kansen even groot zijn in beide populaties en dat beide populaties dus vergelijkbaar zijn in termen van de bestudeerde uitkomst.
Het absolute kansverschil zegt echter niet alles omtrent het bestudeerde effect. Een kansverschil kan immers een grotere impact hebben alnaargelang beide proporties \(p_T\) en \(p_C\) dicht bij 0 of 1 liggen, dan wanneer ze in de buurt van 0.5 liggen. Bijvoorbeeld, wanneer we de proportie vrouwen jonger dan 60 jaar meten die borstkanker ontwikkelen, is een risicoverschil tussen \(p_A=0.01\) voor vrouwen die het allel Leu/Leu bezitten op het BRCA1 gen en \(p_B=0.001\) voor de overige vrouwen, wellicht belangrijker dan een verschil tussen \(p_C=0.41\) en \(p_D=0.401\) voor beide populaties. Een uitspraak dat het risico 0.9% lager is in de ene dan in de andere populatie geeft om die reden slechts een beperkt beeld van het belang van die reductie. Een goede vergelijking van risico’s, kansen of percentages moet om die reden ook rekening houden met het basisrisico (d.w.z. de kans op de bestudeerde uitkomst in een referentiepopulatie). Het ARV doet dit niet, in tegenstelling tot volgende associatiemaat.
Het relatief risico op een gegeven gebeurtenis (bvb. om Armadilidium aan te treffen) voor populatie T (Test, bvb. kleigrond) versus C (Controle, bvb. kalkgrond) wordt met RR genoteerd en gedefinieerd als het quotiënt
\[\begin{equation*} RR=\frac{p_T}{p_C} \end{equation*}\]van de kansen dat deze gebeurtenis zich voordoet in populaties T en C.
Einde definitie
In de studie naar houtluizen bedraagt dit \(RR=0.70/0.32=2.2\). Dit suggereert dat er 2.2 keer zoveel kans om een houtluis van de soort Armadilidium (i.p.v. Oniscus) aan te treffen op kleigrond dan op kalkgrond. Een relatief risico van 1 drukt uit dat beide populaties dus vergelijkbaar zijn in termen van de bestudeerde uitkomst.
Een nadeel van het relatief risico is dat ze, in tegenstelling tot het absolute risico verschil, niet goed duidelijk maakt hoeveel meer individuen de bestudeerde uitkomst ondervinden in de ene dan in de andere populatie. Bijvoorbeeld, zelfs wetende dat het relatief risico op Armidilidium in klei-versus kalkgrond 2.2 bedraagt, is het niet mogelijk om uit te maken hoeveel meer houtluizen van de soort Armidilidium zich manifesteren op kleigrond. Als de kans om Armidilidium aan te treffen i.p.v. Oniscus 0.1% bedraagt op kalkgrond, dan verwacht men dat er per 10000 houtluizen (van de soort Armidilidium of Oniscus) er 10 van de soort Armidilidium zullen zijn op kalkgrond en 22 op kleigrond, wat neerkomt op een verwaarloosbaar verschil van 12. Als de kans om Armidilidium aan te treffen i.p.v. Oniscus 40% bedraagt op kalkgrond, dan verwacht men dat er per 10000 houtluizen (van de soort Armidilidium of Oniscus) er 4000 van de soort Armidilidium zullen zijn op kalkgrond en 8800 op kleigrond, wat neerkomt op een aanzienlijk verschil van 4800. Soms rapporteert men in de plaats van het relatief risico, het relatieve risico verschil \(ARV/p_C=RR-1\). Voor de gegeven studie bedraagt dit 1.2. Het drukt uit dat de toename (van kalk- naar kleigrond) in kans om Armadilidium aan te treffen succes meer dan 1 keer zo groot is als het basisrisico in de controlegroep (kalkgrond).
Merk op dat alle bovenstaande associatiematen eveneens gebruikt kunnen worden wanneer men, in tegenstelling tot wat in een prospectieve studie gebeurt, een volledig lukrake groep proefpersonen selecteert zonder vast te leggen hoeveel van hen al dan niet blootgesteld zijn.
Beschouw de case-controle studie uit Voorbeeld 18, waarvan de gegevens samengevat zijn in Tabel 9. Omdat men in zo’n design op zoek gaat naar \(a+b+c\) lukraak gekozen controles en \(d+e+f\) lukraak gekozen cases, liggen de marges \(a+b+c\) en \(d+e+f\) vast en is het bijgevolg onmogelijk om het risico op case (bvb. risico op borstkanker) te schatten. Dit is noch mogelijk binnen de totale groep, noch binnen de groep van blootgestelden (d.i. vrouwen met allel Leu/Leu), noch binnen de groep niet-blootgestelden. Immers, de kans op case binnen die geobserveerde groep reflecteert hoofdzakelijk de verhouding waarin cases en controles in totaal werden gekozen door het design. Alleen analyses die de kolomtotalen in de tabel vast gegeven veronderstellen, zijn hier zinvol. Dit heeft tot gevolg dat het relatief risico op de aandoening (d.w.z. op case) in de populatie voor blootgestelden versus niet-blootgestelden niet rechtstreeks kan geschat worden op basis van gegevens uit een case-controle studie. Analoog kan ook het bijhorende absolute risicoverschil niet geschat worden.
| Genotype | Controles | Cases | Totaal |
|---|---|---|---|
| Pro/Pro | 266 (a) | 342 (d) | 608 (a+d) |
| Pro/Leu | 250 (b) | 369 (e) | 619 (b+e) |
| Leu/Leu | 56 (c) | 89 (f) | 145 (c+f) |
| Totaal | 572 (a+b+c) | 800 (d+e+f) | 1372 (n) |
Wel heeft men informatie over de kans om het allel Leu/Leu aan te treffen bij cases, \(\pi_1=f/(d+e+f)=89/800=11.1\%\), en de kans op het allel Leu/Leu bij controles, \(\pi_0=c/(a+b+c)=56/572=9.8\%\). Het relatief risico op blootstelling voor cases versus controles is bijgevolg \(11.1/9.8=1.14\). Vrouwen met borstkanker hebben dus 14% meer kans om de allelcombinatie Leu/Leu te hebben op het BRCA1 gen dan vrouwen zonder borstkanker. Dit suggereert dat er een associatie is tussen het polymorfisme op het BRCA1 gen en borstkanker, maar drukt helaas niet uit hoeveel hoger het risico op borstkanker is voor vrouwen met de allelcombinatie Leu/Leu dan voor andere vrouwen. Om toch een antwoord te vinden op deze laatste vraag, voeren we een nieuwe risicomaat in.
De odds op een gebeurtenis wordt gedefinieerd als
\[\begin{equation*} \frac{p}{1-p} \end{equation*}\]waarbij \(p\) de kans is op die gebeurtenis.
Einde definitie
De odds is dus een transformatie van het risico, met onder andere de volgende eigenschappen:
de odds neemt waarden aan tussen nul en oneindig.
de odds is gelijk aan 1 als en slechts als de kans zelf gelijk is aan 1/2.
de odds neemt toe als de kans toeneemt.
Het gebruik van odds is populair onder gokkers omdat het uitdrukt hoeveel waarschijnlijker het is om te winnen dan om te verliezen. Een odds op winnen gelijk aan 1 drukt bijvoorbeeld uit dat het even waarschijnlijk is om te winnen dan om te verliezen. Een odds op winnen gelijk aan 0.9 drukt uit men per 10 verliesbeurten, 9 keer verwacht te winnen. In de genetische associatiestudie uit Voorbeeld 18 is de odds op allel Leu/Leu bij cases gelijk aan \(\mbox{odds}_1=f/(d+e)=89/711=0.125\) en bij controles gelijk aan \(\mbox{odds}_2=c/(a+b)=56/516=0.109\). Vrouwen met borstkanker hebben bijgevolg ongeveer 8 (\(\approx 1/0.125\)) keer meer kans om de allelcombinatie Leu/Leu niet te hebben op het BRCA1 gen dan om het wel te hebben. Om de associatie tussen blootstelling en uitkomst te beschrijven, kan men nu een verhouding van odds (odds ratio) gebruiken in plaats van een verhouding van risico’s (relatief risico).
De odds ratio op een gegeven gebeurtenis (bvb. borstkanker) voor populatie T (bvb. vrouwen met allel Leu/Leu) versus C (bvb. vrouwen zonder allel Leu/Leu) wordt met OR genoteerd en gedefinieerd als het quotiënt \(\begin{equation*} OR=\frac{\mbox{odds}_T}{\mbox{odds}_C} \end{equation*}\) van de odds op deze gebeurtenis in populaties T en C.
Einde definitie
Op basis van de gegevens in Tabel 9 kan de odds ratio op blootstelling voor cases versus controles geschat worden d.m.v. het kruisproduct
\[\begin{equation*} \frac{ \frac{ f/(d+e+f)}{(d+e)/(d+e+f)} }{ \frac{c/(a+b+c)}{(a+b)/(a+b+c)}} = \frac{f(a+b)}{c (d+e)} \end{equation*}\]In het bijzonder vinden we dat de odds op allelcombinatie Leu/Leu voor vrouwen met versus zonder borstkanker gelijk is aan \(OR=(89\times 516)/(56\times 711)=1.15\). Helaas drukt dit resultaat nog steeds niet uit hoeveel meer risico op borstkanker vrouwen met de allelcombinatie Leu/Leu lopen.
Was de bovenstaande studie echter een volledig lukrake steekproef geweest (waarbij het aantal cases en controles niet per design werden vastgelegd), dan konden we daar ook de odds ratio op borstkanker berekenen voor mensen met versus zonder het allel Leu/leu. We zouden dan vaststellen dat dit gelijk is aan
\[\begin{equation*} \frac{ \frac{ f/(c+f)}{c/(c+f)} }{ \frac{(d+e)/(a+b+d+e)}{(a+b)/(a+b+d+e)}} = \frac{f(a+b)}{c(d+e)}, \end{equation*}\]en bijgevolg dezelfde waarde aanneemt. Dat is omdat de odds ratio een symmetrische associatiemaat is zodat de odds ratio op `case’ voor blootgestelden versus niet-blootgestelden steeds gelijk is aan de odds op blootstelling voor cases versus controles. Hieruit volgt dat voor het schatten van de odds ratio het er niet toe doet of we prospectief werken zoals in een typische cohort studie, of retrospectief zoals in een typische case-controle studie. In het bijzonder kunnen we in de genetische associatiestudie uit Voorbeeld 18 de odds op borstkanker voor vrouwen met allel Leu/leu versus zonder berekenen als \(OR=89\times 516/(56\times 711)=1.15\). De odds op borstkanker is bijgevolg 15% hoger bij vrouwen met die specifieke allelcombinatie.
Stel nu dat we met \(p_T\) en \(p_C\) respectievelijk de kans op case noteren voor blootgestelden en niet-blootgestelden. Wanneer beide kansen klein zijn (namelijk \(p_T<5\%\) en \(p_C<5\%\)), dan is de odds een goede benadering voor het risico. Dit is omdat in dat geval \(\mbox{odds}_T=p_T/(1-p_T)\approx p_T\) en \(\mbox{odds}_C=p_C/(1-p_C)\approx p_C\). Er volgt dan bovendien dat de odds ratio een goede benadering voor het relatief risico:
\[\begin{equation*} OR=\frac{\mbox{ odds}_T}{\mbox{ odds}_C}\approx \frac{p_T}{p_C}=RR \end{equation*}\]Wetende dat het risico op borstkanker laag is, mogen we op basis van de gevonden OR van 1.15 bijgevolg besluiten dat het risico (i.p.v. de odds) op borstkanker (bij benadering) 15% hoger ligt bij vrouwen met het allel Leu/Leu op het BRCA1 gen. Dit is een bijzonder nuttige eigenschap omdat (a) het relatief risico, dat niet rechtstreeks geschat kan worden in case-controle studies, gemakkelijker te interpreteren is dan de odds ratio; en (b) de odds ratio bepaalde wiskundige eigenschappen heeft die ze aantrekkelijker maakt dan een relatief risico in statistische modellen. Algemeen is de odds ratio echter steeds verder van 1 verwijderd dan het relatief risico. Wetende dat de odds ratio op borstkanker 1.15 bedraagt voor vrouwen met versus zonder de allelcombinatie Leu/Leu, kunnen we bijgevolg meer nauwkeurig besluiten dat het overeenkomstige relatief risico tussen 1 en 1.15 gelegen is (maar niettemin dicht bij 1.15).
Omdat de odds ratio moeilijker te interpreteren is dan een relatief risico en bijgevolg misleidend kan zijn, valt deze laatste steeds te verkiezen in situaties (zoals prospectieve studies) waar het mogelijk is om het relatief risico in de populatie te schatten. In sommige case-controle studies (nl. matched case-controle studies) wordt voor elke case een controle gezocht die bepaalde karakteristieken gemeenschappelijk heeft, teneinde een betere onderlinge vergelijkbaarheid te garanderen. In dat geval moet de statistische analyse (inclusief de manier om odds ratio’s te schatten) rekening houden met het feit dat de resultaten van elke case gecorreleerd of verwant zijn met de resultaten van de bijhorende controle.
Vaak wordt het begrip risico verward met het begrip rate. Een rate drukt een aantal gebeurtenissen (bvb. aantal sterfte- of ziektegevallen) uit per eenheid in de populatie in een bepaalde tijdspanne. Bijvoorbeeld, een crude mortality rate (CMR) voor een bepaald jaartal is gedefinieerd als 1000 maal het aantal sterftegevallen dat optreedt in dat jaar gedeeld door de grootte van de beschouwde populatie halfweg dat jaar. De reden dat met 1000 wordt vermenigvuldigd is dat het bijvoorbeeld makkelijker na te denken is over een CMR van 12 sterftes per 1000 in Engeland en Wales, dan over 0.012 sterftes per individu. Indien een specifieke leeftijdsgroep wordt gekozen, verkrijgt men de leeftijdsspecifieke mortality rate als 1000 maal het aantal sterftegevallen dat optreedt in een bepaald jaar en bepaalde leeftijdsgroep gedeeld door de grootte van de beschouwde populatie in die leeftijdsklasse halfweg dat jaar. In tegenstelling tot de incidentie, is de prevalentie geen rate omdat ze niet een aantal gebeurtenissen uitdrukt over een zekere tijdspanne.