De Italiaanse wiskundige Raphael Bombelli (16e eeuw) bedacht een methode om de vierkantswortel van een natuurlijk getal te berekenen (of beter, te benaderen). De methode werkt als volgt.

Stel dat we de \(\mathsf{x = \sqrt{19}}\) willen uitrekenen, dan geldt sowieso dat \(\mathsf{x^2 = 16+3 = 4^2+3}\) of dus

\[\mathsf{\begin{array}{rrcl} & x^2 - 4^2 & = & 3 \\ \Leftrightarrow & (x-4) \cdot (x+4) & = & 3\\ \Leftrightarrow & x- 4 & = & \dfrac{3}{x+4}\\ \Leftrightarrow & x & = & 4+\dfrac{3}{x+4} = 4 + \dfrac{3}{4+x}\end{array}}\]

En nu begint de pret 😎, het is namelijk mogelijk om de \(\mathsf{x}\) in de breuk te vervangen door het ganse rechterlid. Zodat

\[\mathsf{ \begin{array}{rrcl} & x & = & 4+\dfrac{3}{4+x}\\ \Leftrightarrow & x & = & 4 + \dfrac{3}{4 + {\color{#0061A6}4 + \frac{3}{4+x}}}\\ \Leftrightarrow & x & = & 4 + \dfrac{3}{8+\frac{3}{4+4+\frac{3}{4+x}}}\\ \Leftrightarrow & x & = & 4 + \dfrac{3}{8+\frac{3}{8+\frac{3}{4+\ldots}}}\\ \end{array}}\]

hetgeen men een kettingbreuk noemt.

Dit kan je gebruiken om \(\mathsf{\sqrt{19}}\) te benaderen, door in het recherlid \(\mathsf{x}\) te vervangen door zijn meest eenvoudige benadering: 4, met andere woorden:

\[\mathsf{4, \qquad 4+\dfrac{3}{8}, \qquad 4+\dfrac{3}{8+\frac{3}{8}}, \qquad 4+\dfrac{3}{8+\frac{3}{8+\ldots}}}\]

zijn telkens nauwkeurigere benaderingen voor \(\mathsf{\sqrt{19}}\).

Opgave

Schrijf een programma dat een natuurlijk getal en vervolgens het aantal kettingbreuken aan de gebruiker vraagt. Vervolgens bereken je de benadering voor deze hoeveelheidkettingbreuken. Rond steeds af op zes decimalen.

Voorbeelden

Bij de invoer 19 en 3 verkrijg je:

De benadering met 3 kettingbreuken is 4.358929

Bij de invoer 19 en 0 verkrijg je:

De benadering met 3 kettingbreuken is 4

Tip

Voer deze berekening eens uit op papier. Denk goed na over hoe je deze kettingbreuken manueel uitrekent, je zal Python dit op dezelfde manier moeten laten doen.