Criminologen onderzoeken welke buurtkenmerken de criminaliteitsindex verklaren. Voor vijf steden zijn de volgende gegevens beschikbaar:

• X₁: Politiedichtheid (agenten per km²)
• X₂: Werkloosheidsgraad (%)
• Y: Criminaliteitsindex (incidenten per 1000 inwoners)

Tabel 1 — Gegevens per stad

Bereken alles met de hand (rekenmachine mag). Vul enkel je eindresultaten in R in.

Berekeningsstappen voor meervoudige regressie

Stap 1 — Gemiddelden

• Bereken x̄₁, x̄₂ en Ȳ

Stap 2 — Afwijkingstabel (maak twee tabellen)

• Tabel A: (x₁−x̄₁), (x₂−x̄₂), (Y−Ȳ) voor elke stad
• Tabel B: kwadraten en kruisproducten per stad

Stap 3 — Sommeer

• SSx₁ = Σ(x₁−x̄₁)²    SSx₂ = Σ(x₂−x̄₂)²    SSy = Σ(Y−Ȳ)²
• SSx₁x₂ = Σ(x₁−x̄₁)(x₂−x̄₂)    SSx₁y = Σ(x₁−x̄₁)(Y−Ȳ)    SSx₂y = Σ(x₂−x̄₂)(Y−Ȳ)

Stap 4 — Determinant \(D = SSx_1 \cdot SSx_2 - SSx_{12}^2\)

Stap 5 — Regressiegewichten \(b_1 = \frac{SSx_{1y} \cdot SSx_2 - SSx_{2y} \cdot SSx_{12}}{D} \qquad b_2 = \frac{SSx_{2y} \cdot SSx_1 - SSx_{1y} \cdot SSx_{12}}{D}\)

Stap 6 — Intercept \(a = \bar{Y} - b_1 \bar{x}_1 - b_2 \bar{x}_2\)

Stap 7 — Voorspelling \(\hat{Y} = a + b_1 x_1 + b_2 x_2\)

Stap 8 — Determinatiecoëfficiënt R² \(R^2 = \frac{b_1 \cdot SSx_{1y} + b_2 \cdot SSx_{2y}}{SSy}\)

Opgaven

Deel A: Variabelen

• 1) Welke variabele is de afhankelijke variabele (Y)?
  • afhankelijke_variabele = 1 (politiedichtheid), 2 (werkloosheid) of 3 (criminaliteitsindex)

Deel B: Gemiddelden

• 2) Gemiddelde van X₁ (politiedichtheid) — 2 decimalen
  • gemiddelde_x1
• 3) Gemiddelde van X₂ (werkloosheid) — 2 decimalen
  • gemiddelde_x2
• 4) Gemiddelde van Y (criminaliteitsindex) — 2 decimalen
  • gemiddelde_y

Deel C: Sommen van kwadraten en kruisproducten

• 5) SSx₁ = Σ(x₁−x̄₁)²
  • SSx1
• 6) SSx₂ = Σ(x₂−x̄₂)²
  • SSx2
• 7) SSy = Σ(Y−Ȳ)²
  • SSy
• 8) SSx₁x₂ = Σ(x₁−x̄₁)(x₂−x̄₂)
  • SSx1x2
• 9) SSx₁y = Σ(x₁−x̄₁)(Y−Ȳ)
  • SSx1y
• 10) SSx₂y = Σ(x₂−x̄₂)(Y−Ȳ)
  • SSx2y

Deel D: Determinant

• 11) Determinant D = SSx₁·SSx₂ − SSx₁x₂²
  • determinant_D

Deel E: Regressiecoëfficiënten

• 12) Regressiegewicht b₁ (voor politiedichtheid) — 2 decimalen
  • b1
• 13) Regressiegewicht b₂ (voor werkloosheid) — 2 decimalen
  • b2
• 14) Intercept a — 2 decimalen
  • intercept_a

Deel F: Voorspelling

• 15) Voorspel Y voor een stad met X₁ = 3 en X₂ = 8 — 2 decimalen
  • voorspelling

Deel G: Model fit

• 16) Determinatiecoëfficiënt R² — 4 decimalen
  • R_kwadraat

Deel H: Interpretatie

• 17) In welke richting werkt b₁?
  • richting_b1 = 1 (positief: meer politie → meer criminaliteit) of 2 (negatief: meer politie → minder criminaliteit)
• 18) Welke predictor heeft het sterkste relatieve effect op Y (kijk naar de gestandaardiseerde coëfficiënten β)?
  • sterkste_predictor = 1 (X₁ politiedichtheid) of 2 (X₂ werkloosheid)