De kolommen van een reële $N\times N$-matrix $A$ kunnen geïnterpreteerd worden als vectoren in een $N$-dimensionale ruimte. Deze vectoren zijn niet noodzakelijk orthonormaal (d.w.z. onderling loodrecht en met lengte 1). Het Gram-Schmidt algoritme construeert uitgaande van de kolommen van $A$ een reeks van $N$ vectoren, allen lineaire combinaties van de kolommen van $A$ die wel orthonormaal zijn.

Noem $\overrightarrow{x_i}$ de vector die geassocieerd is met de $i$-de kolom van $A$. In een eerste stap zoeken we $N$ vectoren $\overrightarrow{y_i}$ die onderling loodrecht zijn, namelijk:
$\overrightarrow{y_0}=\overrightarrow{x_0}$
en voor $0<i<N$:
$\overrightarrow{y_i}=\overrightarrow{x_i}-\sum _{j=0}^{i-1}\frac{\overrightarrow{x_i}\cdot \overrightarrow{y_j}}{\overrightarrow{y_j}\cdot \overrightarrow{y_j}}\overrightarrow{y_j}$
In deze uitdrukking staat $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$ voor het scalair product van de vectoren $\overrightarrow{a}$ en $\overrightarrow{b}$.
In een laatste stap, normeren we de vectoren $\overrightarrow{y_i}$, namelijk
$\overrightarrow{z_i}=\frac{\overrightarrow{y_i}}{||\overrightarrow{y_i}||}$ met $||\overrightarrow{a}||$ de klassieke norm van de vector $\overrightarrow{a}$, gedefinieerd als de vierkantswortel uit de som van de kwadraten van de componenten van $\overrightarrow{a}$.

Schrijf de functie orthonormaal() met als enig argument een NumPy-tabel, met $N$ rijen en $N$ kolommen, en $N>0$. Het resultaat van de functie is een NumPy-tabel, eveneens bestaande uit $N$ rijen en $N$ kolommen, waarvan de kolommen de vectoren $\overrightarrow{z_i}$ voorstellen, verkregen via de hierboven beschreven aanpak. Je mag aannemen dat de originele tabel niet-singulier is.

Voorbeeld

a = [[1.0, 2.0, 3.0],[4.0, 5.0, 6.0], [9.0, 8.0, 4.0]]
orthonormaal(np.array(a)) = 
[[ 0.10101525  0.61796622 -0.77968819]
 [ 0.40406102  0.69066813  0.59976014]
 [ 0.90913729 -0.37562653 -0.17992804]]