Bijen maken honingraten van zeshoekige cellen die gemaakt zijn van bijenwas. De vorm van de cellen zorgt voor de meest efficiënte indeling van de raat, verhoogt de sterkte van de kam en vermindert de hoeveelheid was die nodig is om een robuuste structuur te produceren. Daardoor wordt de ruimte optimaal gebruikt om honing op te slaan en wordt energie bespaard bij de wasproductie, want de productie van één kilo was kost vier tot zes kilo honing.

honingraat
Honingraat met eieren en larven.
kippengaas
Afrastering met kippengaas.
grafeen
Grafeen is een zeshoekig rooster van koolstofatomen op atomaire schaal.
nanobuis
Een koolstof nanobuis kan gezien worden als zeshoekige tegels op een cilindrisch oppervlak.
keukenwand
Keukenwand bedekt met zeshoekige tegels.

In de natuur vinden we deze zeshoekige structuur ook terug in de vorm van grafiet, waarbij elk vel grafeen lijkt op kippengaas met sterke covalente koolstofbindingen. Er worden ook buisvormige grafeenplaten gesynthetiseerd die koolstofnanobuisjes genoemd worden. Ze hebben veel toepassingen vanwege hun hoge treksterkte en elektrische eigenschappen.

De schoonheid van de natuur wordt ondertussen ook binnenshuis nagebootst. Daar voegen mozaïekpatronen van zeszijdige tegels een uniek karakter en geometrische elegantie toe aan keukens, badkamers, woonkamers en slaapkamers. Deze veelzijdige tegels bieden een tijdloze afwerking en passen naadloos bij subtiele en gedurfde interieurs, waardoor ze een steeds populairdere keuze zijn voor wanden en vloeren in veel interieuromgevingen.

Opgave

Om patronen te beschrijven in roosters van zeshoekige cellen, hebben we een coördinatensysteem nodig dat de positie van elke cel op een unieke manier vastgelegt. We nemen een rooster waarin de zeshoeken met een punt naar boven liggen en gebruiken een axiaal coördinatensysteem. Daarin wordt de positie van elke cel aangeduid met een paar coördinaten \((q, r)\), waarbij \(q, r \in \mathbb{N}\).

Elke zeshoekige cel heeft zes buren die respectievelijk ten noordwesten (NW), noordoosten (NO), oosten (O), zuidoosten (ZO), zuidwesten (ZW) en westen (W) liggen. De richtingen waarin deze zes buren liggen worden aangeduid door één of twee hoofdletters (String) zoals aangegeven in voorgaande oplijsting. Dit is het verband tussen de axiale coördinaten \((q, r)\) van een cel en de axiale coördinaten van zijn zes buren:

axiaal coördinatensysteem
Verband tussen de axiale coördinaten $$(q, r)$$ van een cel en de axiale coördinaten van zijn buren in de zes richtingen.

Als we in een rooster van zeshoekige cellen een referentiecel kiezen met axiale coördinaten \((0, 0)\), dan zijn dit de axiale coördinaten van de omliggende cellen:

axiale coördinaten
Axiale coördinaten van een referentiecel op positie $$(0, 0)$$ en zijn omliggende cellen.

De afstand tussen een zeshoek \(z\) met coördinaten \((q, r)\) en een zeshoek \(\bar{z}\) met coördinaten \((\bar{q}, \bar{r})\) is gedefinieerd als het minimaal aantal stappen naar naburige cellen dat je moet zetten om vanaf cel \(z\) naar cel \(\bar{z}\) te gaan. Deze afstand wordt berekend als

\[\frac{1}{2}(|q - \bar{q}| + |r - \bar{r}| + |q + r - \bar{q} - \bar{r}|)\]

Hierbij staat \(\vert x \vert\) voor de absolute waarde van \(x\).

Definieer een klasse Zeshoek waarmee zeshoekige cellen (met puntige top) in een rooster met een axiaal coördinatensyteem kunnen voorgesteld worden. Bij het aanmaken van een zeshoek (Zeshoek) moeten de coördinaten \(q\) (Number) en \(r\) (Number) van de cel doorgegeven worden. Zeshoeken zijn onveranderlijk (immutable).

Verder moeten op een zeshoek \(z\) (Zeshoek) minstens de volgende methoden kunnen aangeroepen worden:

Voorbeeld

> const tegel = new Zeshoek(0, 0);
> tegel.toString();
"Zeshoek(0, 0)"
> tegel.afstand(new Zeshoek(4, 3));
7

> tegel.buur("O").buur("ZO").buur("NO").buur("O").toString();
"Zeshoek(3, 0)"
> tegel.buur("NW").buur("W").buur("ZW").buur("O").buur("O").toString();
"Zeshoek(0, 0)"
> tegel.buur("NE").toString();
AssertionError: ongeldige richting
> tegel.pad("OZONOO").toString();
"Zeshoek(3, 0)"
> tegel.pad("NWWZWOO").toString();
"Zeshoek(0, 0)"
> tegel.pad("NEES").toString();
AssertionError: ongeldig pad

> tegel.buren().map(x => x.toString());
["Zeshoek(0, -1)", "Zeshoek(1, -1)", "Zeshoek(1, 0)", "Zeshoek(0, 1)", "Zeshoek(-1, 1)", "Zeshoek(-1, 0)"]