Binnen de wiskunde kan men het rekenkundig-meetkundig gemiddelde van een rij getallen berekenen, men noemt dit ook wel het arithmetic–geometric mean (AGM).
Dit gemiddelde is gedefinieerd als de limiet van het opeenvolgend rekenkundig en meetkundig gemiddelde. Stel dat het rekenkundig gemiddelde \(a_0\) van een reeks getallen \(33\) is, en het meetkundig gemiddelde \(g_0 = 6\) is. Dan berekent men in de volgende stap:
\[a_1 = \dfrac{1}{2} (a_0+g_0) = 19,5 \qquad \text{en} \qquad g_1 = \sqrt{a_0\cdot g_0} \approx 14,07\]Men herhaalt hierna dit proces met de getallen \(a_1 = 19,5\) en \(g_1 \approx 14,07\). Met andere woorden \(a_2 = \dfrac{1}{2}(a_1 + g_1)\) en \(g_2 = \sqrt{a_1 \cdot g_1}\), enz…
Op zich kan dit proces zich oneindig lang herhalen, maar in de praktijk zal men dit stoppen na 10 iteraties. Voor het vorige voorbeeld met \(a_0 = 33\) en \(g_0 = 6\) wordt het resultaat:
| \(i\) | \(a_i\) | \(g_i\) |
|---|---|---|
| 0 | 33 | 6 |
| 1 | 19,5 | 14,071 247 279 470 288 |
| 2 | 16,785 623 639 735 142 | 16,564 701 082 412 280 |
| 3 | 16,675 162 361 073 709 | 16,674 796 492 733 754 |
| 4 | 16,674 979 426 903 732 | 16,674 979 425 900 286 |
| 5 | … | … |
Je merkt dat de getallen steeds dichter bij elkaar komen te liggen. Het gedeelte dat overeenkomt werd onderlijnd.
Programmeer de functie mean_geom() die gegeven een vector data het meetkundige gemiddelde implementeert. Rond hierbij niet af.
Maak vervolgens een functie agm() die gegeven een vector data eerst a_0 (via mean()) en g_0 (via mean_geom()) berekent en vervolgens het bovenstaande proces 10 keer uitvoert. Uiteindelijk return je de berekende waarde van a_10.
> agm( c(1.5, 1.5, 96) )
[1] 16.674979426402
Tips
- In deze oefening moet je dus twee functies programmeren.
mean_geom()kan je wel uit een vorige oefening recupereren.- Gebruik een
forlus.- 10 keer herhalen doe je via
for (i in 1:10).