Een histogram levert reeds een sterke samenvatting van de geobserveerde, continue gegevens, maar in wetenschappelijke rapporten is er zelden plaats om per geobserveerde variabele dergelijke grafiek voor te stellen. Om die reden is vaak een veel drastischere samenvattingsmaat noodzakelijk. In deze sectie geven we aan hoe de centrale locatie van de gegevens kan beschreven worden, alsook de spreiding van die gegevens rond hun centrale locatie.
Het (rekenkundig) gemiddelde \(\overline{x}\) (spreek uit: x-streep of x-bar) van een reeks waarnemingen \(x_i, i=1, 2, \dots, n\) is per definitie de som van de observaties gedeeld door hun aantal \(n\):
\[\overline{x}= \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} =\sum_{i=1}^n x_i \frac{1}{n}\]Einde definitie
Merk op dat het rekenkundig gemiddelde ook verkregen zou worden als gemiddelde voor een discrete distributie met kansen van 1/n op elke waarde uit de steekproef. Wanneer we het steekproefgemiddelde gebruiken dan schatten we de distributie in de populatie als het ware aan de hand van de empirische distributie van de data. We maken dus geen distributionele veronderstellingen hiervoor.
Een groot voordeel van het gemiddelde als een maat voor de centrale locatie van de observaties is dat het alle data-waarden efficiënt gebruikt vanuit statistisch perspectief. Dit wil zeggen dat ze (onder bepaalde statistische modellen) het maximum aan informatie uit de gegevens haalt en om die reden relatief gezien zeer stabiel blijft wanneer ze herberekend wordt op basis van een nieuwe, even grote steekproef die onder identieke omstandigheden werd bekomen. Bovendien beschrijft het gemiddelde ook verschillende belangrijke modellen voor de verdeling van de gegevens, zoals de Normale verdeling (zie Sectie 4.4). Een groot nadeel van het gemiddelde is dat het zeer gevoelig is aan de aanwezigheid van outliers in de dataset. Om die reden is het vooral een interessante maat van locatie wanneer de verdeling van de observaties (zoals weergegeven door bijvoorbeeld een histogram) min of meer symmetrisch is.
mean(NHANES$BMI,na.rm=TRUE)
## [1] 26.66014
#opnieuw is de na.rm statement hier nodig
#omdat ontbrekende waarden voorkomen.
Indien men de grootste observatie (81.25) vervangt door 8125 om als het ware ene tikfout voor te stellen, dan wijzigt het rekenkundig gemiddelde naar 27.5 en dat terwijl er bijna 10000 BMI metingen zijn. Merk op dat het gemiddelde vrij sterk beïnvloed kan worden door één outlier.
Eigenschap
Als alle uitkomsten \(x_i\) met een willekeurige constante \(a\) worden vermenigvuldigd, dan ook het gemiddelde van die reeks uitkomsten. Als bij alle uitkomsten een constante \(a\) wordt opgeteld, dan ook bij het gemiddelde van die reeks uitkomsten. Formeel betekent dit:
\[\begin{eqnarray*} \overline{ax} &= &a \overline{x} \\ \overline{a + x} &= &a + \overline{x} \end{eqnarray*}\]Voor 2 reeksen getallen \(x_i\) en \(y_i\), \(i=1,...,n\), geldt dat het gemiddelde van de som van de observaties gelijk is aan de som van hun gemiddelden:
\[\begin{equation*} \overline{x + y} = \overline{x} + \overline{y}. \end{equation*}\]Als de gegevens \(x_i\) enkel de waarden 0 of 1 aannemen, dan is \(\overline{x}\) de proportie subjecten voor wie de waarde 1 werd geobserveerd. Immers, zij \(n_1\) het aantal subjecten binnen de groep van \(n\) subjecten waarvoor de waarde 1 werd geobserveerd, dan is
\[\begin{equation*} \overline{x}= \sum_{i=1}^n \frac{x_i}{n} = \frac{n_1}{n}. \end{equation*}\]Bijvoorbeeld, als we de variabele Gender zó coderen dat mannen een waarde 0 aannemen en vrouwen een waarde 1, dan is het gemiddelde van de variabele Gender gelijk aan 50.2%, hetgeen de proportie is van het aantal vrouwen in de studie. Een percentage kan dus steeds opgevat worden als het gemiddelde van een geschikte variabele.
Einde eigenschap
Een centrale maat die robuuster reageert dan het gemiddelde, d.w.z. minder of niet gevoelig is aan outliers, is de mediaan of het 50% percentiel.
De mediaan, het 50% percentiel of het 50% kwantiel \(x_{50}\) van een reeks waarnemingen \(x_i, i=1, 2, \dots, n\) is per definitie een uitkomstwaarde \(x_{50}\) zodat minstens \(50\%\) van die waarnemingen groter of gelijk zijn aan \(x_{50}\) en minstens \(50\%\) van die waarnemingen kleiner of gelijk zijn aan \(x_{50}\).
Einde definitie
Om de mediaan te schatten, rangschikt men eerst de gegevens volgens grootte. Als het aantal observaties \(n\) oneven is, dan is een schatting voor de mediaan de middelste waarneming. Indien \(n\) even is, dan zijn er 2 middelste waarnemingen en schat men de mediaan (meestal) als hun gemiddelde. Een voordeel van de mediaan is dat ze niet gevoelig is aan outliers. In het bijzonder kan ze vaak nuttig aangewend worden wanneer sommige gegevens gecensureerd zijn. Dit wil zeggen dat men voor een aantal gegevens enkel weet dat ze boven of onder een bepaalde drempelwaarde liggen.
median(NHANES$BMI,na.rm=TRUE)
## [1] 25.98
#Merk op dat we hier gebruik maken van het argument na.rm=TRUE
#Dit komt omdat we niet beschikken over het BMI
#voor elke persoon: ontbrekende waarnemingen
#Die worden in R als een NA voorgesteld
#Als we het argument na.rm=TRUE gebruiken wordt
#de mediaan berekend op basis van de beschikbare observaties
Indien men de grootste observatie (81.25) vervangt 8125, dan wijzigt de mediaan niet. Merk ook op dat de mediaan lager is dan het gemiddelde, hij is minder gevoelig voor de outliers in de dataset.
De modus van een reeks observaties is de waarde die het meest frequent is, of wanneer de gegevens gegroepeerd worden, de klasse met de hoogste frequentie.
Einde definitie
De modus wordt niet vaak gebruikt in statistische analyse omdat haar waarde sterk afhangt van de nauwkeurigheid waarmee de gegevens werden gemeten. Zo is de modus van de reeks observaties \(1, 1, 1, 1.5, 1.75, 1.9, 2, 2.1, 2.4\) gelijk aan 1, maar wordt ze 2 wanneer alle observaties afgerond worden tot gehele getallen. Bovendien is de modus niet eenvoudig te schatten voor continue data waar de frequentie van elke geobserveerde waarde meestal 1 is. De modus is daarom het meest zinvol voor kwalitatieve en discrete numerieke gegevens, waar ze de meest frequente klasse aanduidt.
Als de observaties uit een symmetrische verdeling afkomstig zijn, vallen de mediaan en het gemiddelde nagenoeg samen (als de geobserveerde verdeling perfect symmetrisch is, vallen ze theoretisch exact samen). De beste schatter voor het centrum van de verdeling op basis van de beschikbare steekproef is dan het gemiddelde eerder dan de mediaan van die observaties. Inderdaad, als men telkens opnieuw een lukrake steekproef neemt uit de gegeven studiepopulatie en voor elke steekproef het gemiddelde en de mediaan berekent, dan zal het gemiddelde minder variëren van steekproef tot steekproef dan de mediaan. Ze is bijgevolg stabieler en wordt daarom een meer precieze schatter genoemd. Intuïtief kan men begrijpen dat het gemiddelde meer informatie uit de gegevens gebruikt: niet alleen of iets groter of kleiner is dan \(x_{50}\) maar ook hoeveel groter of kleiner de exacte waarde van elke observatie is, wordt in de berekening betrokken.
Een niet-symmetrische verdeling wordt scheef genoemd. Als de waarden rechts van de mediaan verder uitlopen dan links, dan is de verdeling scheef naar rechts (in het Engels: positively skew) en is het gemiddelde (meestal) groter dan de mediaan. Als de waarden links van de mediaan verder uitlopen dan rechts, dan is de verdeling scheef naar links (in het Engels: negatively skew) en is het gemiddelde (meestal) kleiner dan de mediaan.
Einde definitie
Voor een niet-symmetrische verdeling is de mediaan veelal een beter interpreteerbare maat dan het gemiddelde omdat ze minder beïnvloed is door de staarten van de verdeling en daarom beter het centrum van de verdeling aanduidt. Maar in sommige gevallen, zoals bijvoorbeeld voor `de gemiddelde opbrengst per week’, blijft het gemiddelde zinvol omdat het meteen verwijst naar de totale opbrengst over alle weken (gelijk aan \(n\) keer het gemiddelde als \(n\) weken werden geobserveerd). Ook voor kwalitatieve variabelen kan een gemiddelde zinvol zijn. Voor binaire nominale variabelen die als 1 of 0 gecodeerd zijn, geeft het gemiddelde immers het percentage observaties gelijk aan 1 weer. Voor ordinale variabelen die bijvoorbeeld gecodeerd zijn als \(1, 2, 3, ...\) levert het gemiddelde soms nuttigere informatie dan de mediaan. Niettemin berust het dan op de impliciete onderstelling dat een wijziging van score van 1 naar 2 even belangrijk is als een wijziging van 2 naar 3.
Om scheve verdelingen in een paar woorden te beschrijven is het vaak nuttig om
Wanneer het gemiddelde groter is dan de mediaan en alle metingen positief zijn (vb concentraties, BMI), dan is een logaritmische transformatie van de gegevens vaak nuttig om de scheefheid weg te nemen. In dit geval is vooral het geometrisch gemiddelde interessant.