Interpretatie 1

Een patiënt met een ESR1 expressie die 1 eenheid op de $\log_{2}$ schaal hoger ligt dan dat van een andere patiënt heeft gemiddeld gezien een expressie-niveau van het S100A8 gen dat 1.61 eenheden lager ligt (95% BI [-1.92,-1.31]).

Merk op dat dit een crossectionele studie is, we kunnen met het model alleen maar uitspraken doen over verschillen tussen patiënten!

\log_{2} {\hat{μ}}_{1} = 23.401 - 1.615 \times {logESR}_{1}, \log_{2} {\hat{μ}}_{2} = 23.401 - 1.615 \times {logESR}_{2}

\log_{2} {\hat{μ}}_{2} - \log_{2} {\hat{μ}}_{1} = - 1.615 (\log_{2} {ESR}_{2} - \log_{2} {ESR}_{1}) = - 1.615 \times 1 = - 1.615

Interpretatie 2 Wanneer de data op log-schaal wordt gemodelleerd, worden na terugtransformatie geometrische gemiddelden bekomen. Ter illustratie herschrijven we bijvoorbeeld het rekenkundig gemiddelde op de log schaal:

\begin{array}{rcl} \sum_{i = 1}^{n} \frac{\log x_{i}}{n} & = & \frac{\log x_{1} + \dots + \log x_{n}}{n} \\ \overset{(1)}{=} & \frac{\log (x_{1} \times \dots \times x_{n})}{n} = \frac{\log (\prod_{i = 1}^{n} x_{i})}{n} \\ \overset{(2)}{=} & \log (\sqrt[n]{\prod_{i = 1}^{n} x_{i}}) \end{array}

waarbij in overgang (1) en (2) wordt gesteund op de eigenschappen van logaritmen en $\prod$ de product operator is. Na terug transformatie wordt dus een geometrisch gemiddelde $\sqrt[n]{\prod_{i = 1}^{n} x_{i}}$ bekomen.

In de onderstaande notatie worden de populatiegemiddelden $μ$ dus geschat a.d.h.v. geometrisch gemiddelden. Omdat de logaritmische transformatie een monotone transformatie is, kunnen we ook betrouwbaarheidsintervallen berekend op log-schaal terugtransformeren!

2^lm2$coef[2]

##  log2ESR1 
## 0.3265519

2^-lm2$coef[2]

## log2ESR1 
##   3.0623

2^-confint(lm2)[2,]

##    2.5 %   97.5 % 
## 3.786977 2.476298

Een patiënt met een ESR1 expressie die 2 keer zo hoog is als die van een andere patiënt, zal gemiddeld een S100A8-expressie hebben die 3.06 keer lager is (95% BI [2.48,3.79]).

\log_{2} {\hat{μ}}_{1} = 23.401 - 1.615 \times {logESR}_{1}, \log_{2} {\hat{μ}}_{2} = 23.401 - 1.615 \times {logESR}_{2}

\log_{2} {\hat{μ}}_{2} - \log_{2} {\hat{μ}}_{1} = - 1.615 (\log_{2} {ESR}_{2} - \log_{2} {ESR}_{1})

\log_{2} [\frac{{\hat{μ}}_{2}}{{\hat{μ}}_{1}}] = - 1.615 \log_{2} [\frac{{ESR}_{2}}{{ESR}_{1}}]

\frac{{\hat{μ}}_{2}}{{\hat{μ}}_{1}} = {[\frac{{ESR}_{2}}{{ESR}_{1}}]}^{- 1.615} = 2^{- 1.615} = 0.326

\frac{{\hat{μ}}_{1}}{{\hat{μ}}_{2}} = 2^{1.615} = 3.06

Interpretatie 3 Een patiënt met een ESR1 expressie die 1% hoger is dan die van een andere patiënt zal gemiddeld een expressieniveau voor het S100A8 gen hebben dat ongeveer -1.61% lager is (95% BI [-1.92,-1.31])%.

\log_{2} {\hat{μ}}_{1} = 23.401 - 1.615 \times {logESR}_{1}, \log_{2} {\hat{μ}}_{2} = 23.401 - 1.615 \times {logESR}_{2}

\log_{2} {\hat{μ}}_{2} - \log_{2} {\hat{μ}}_{1} = - 1.615 (\log_{2} {ESR}_{2} - \log_{2} {ESR}_{1})

\log_{2} [\frac{{\hat{μ}}_{2}}{{\hat{μ}}_{1}}] = - 1.615 \log_{2} [\frac{{ESR}_{2}}{{ESR}_{1}}]

\frac{{\hat{μ}}_{2}}{{\hat{μ}}_{1}} = {[\frac{{ESR}_{2}}{{ESR}_{1}}]}^{- 1.615} = {1.01}^{- 1.615} = 0.984 \approx - 1.6 %

Merk op dat voor waarden van

- 10 < β_{1} < 10 \to {1.01}^{β_{1}} - 1 \approx \frac{β_{1}}{100} .

Dus voor log-getransformeerde predictoren met kleine tot gematigde waarden voor $β_{1}$ kan de helling $β_{1}$ als volgt geïnterpreteerd worden: een 1% toename in de predictor resulteert gemiddelde in een $β_{1}$ % verschil in de uitkomst.