Uitbreiding naar categorische variabelen met meerdere niveaus

Als minstens 1 van de discrete variabelen $X$ en $Y$ meer dan 2 mogelijke waarden aanneemt, kan men nagaan of de kansverdeling van $Y$ afhangt van de $X$ -waarde in de populatie door een veralgemening van de $χ^{2}$ -toets uit vorige sectie. Ook hier toetst men de nulhypothese $H_{0} : X$ en $Y$ zijn onafhankelijk, ten opzichte van het tweezijdig alternatief $H_{A} : X$ en $Y$ zijn niet onafhankelijk. Als de variabele voorgesteld op de rijen $r$ mogelijke uitkomsten heeft en die op de kolommen $c$ mogelijke uitkomsten, dan noemt men de kruistabel die $X$ tegenover $Y$ uitzet, een $r \times c$ tabel.

Zoals voorheen vergelijkt men het aantal geobserveerde waarden in cel $(i, j)$ , $O_{i j}$ genoteerd, met het aantal verwachte waarden onder de nulhypothese in deze cel, $E_{i j}$ genoemd, op basis van de marginale totalen. Net als voorheen is $E_{i j}$ het product van het $i$ -de rijtotaal met het $j$ -de kolomtotaal gedeeld door het algemene totaal. De toetsingsgrootheid is nu

X^{2} = \sum_{i j} \frac{{(O_{i j} - E_{i j})}^{2}}{E_{i j}}

Men kan aantonen dat ze een Chi-kwadraat verdeling volgt met $(r - 1) \times (c - 1)$ vrijheidsgraden als de nulhypothese waar is. De continuïteitscorrectie wordt meestal niet gebruikt bij meer dan 2 rijen of kolommen.

We voeren nu de test uit voor het BRCA voorbeeld waarbij we nu gebruik maken van alle varianten

chisq.test(brcaTab)

## 
##  Pearson's Chi-squared test
## 
## data:  brcaTab
## X-squared = 2.0551, df = 2, p-value = 0.3579

Om te onderzoeken of het BRCA1 gen geassocieerd is met borstkanker, berekenen we de Pearson chi-kwadraat toets voor de case-controle studie uit Tabel 13. De toetsingsgrootheid bedraagt nu 2.055 en volgt een Chi-kwadraat verdeling met 2 vrijheidsgraden. De kans dat zo’n $χ^{2}$ - verdeelde toevalsveranderlijke extremer is dan 2.055, bedraagt 36%. Op het 5% significantieniveau kunnen we dus niet besluiten dat het BRCA1 gen geassocieerd is met borstkanker.

De Pearson $χ^{2}$ test wordt gebruikt om te toetsen of er een associatie is tussen 2 kwalitatieve (mogelijks niet binaire) variabelen, i.h.b. om te toetsen of de verdeling[58] van de ene kwalitatieve variabele verschilt alnaargelang de waarde van de andere kwalitatieve variabele. Ze vereist dat de 2 metingen voor de 2 kwalitatieve variabelen telkens bekomen werden van onafhankelijke subjecten, en dat minstens 80% van de cellen in de overeenkomstige kruistabel een verwacht aantal observaties van minstens 5 bezitten. Op die manier vormt ze het analogon van de one-way variantie-analyse voor kwalitatieve i.p.v. continue variabelen.