Voor het prostaatkanker voorbeeld levert een analyse van het enkelvoudige lineaire regressiemodel \(E(Y|X_v)=\beta_0+\beta_v X_v\) in R de volgende output.

lmV <- lm(lpsa ~ lcavol, prostate)
summary(lmV)

## 
## Call:
## lm(formula = lpsa ~ lcavol, data = prostate)
## 
## Residuals:
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -1.67624 -0.41648  0.09859  0.50709  1.89672 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)  1.50730    0.12194   12.36   <2e-16 ***
## lcavol       0.71932    0.06819   10.55   <2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 0.7875 on 95 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.5394,	Adjusted R-squared:  0.5346 
## F-statistic: 111.3 on 1 and 95 DF,  p-value: < 2.2e-16

We besluiten op basis van deze gegevens dat patiënten met een tumorvolume dat 1% hoger ligt, gemiddeld gezien een prostaat antigeen concentratie zullen hebben die ongeveer 0.72% hoger zal liggen. Merk op dat we voor deze interpretatie beroep hebben gedaan op het feit dat beide variabelen log getransformeerd zijn.

Een analyse van het meervoudige lineaire regressiemodel met de predictoren lcavol (index v), lweight (index w) en svi (index s)

wijzigt dit resultaat vrij behoorlijk, zoals onderstaande output aangeeft.

lmVWS <- lm(lpsa~lcavol + lweight + svi, prostate)
summary(lmVWS)

## 
## Call:
## lm(formula = lpsa ~ lcavol + lweight + svi, data = prostate)
## 
## Residuals:
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -1.72966 -0.45767  0.02814  0.46404  1.57012 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) -0.26807    0.54350  -0.493  0.62301    
## lcavol       0.55164    0.07467   7.388  6.3e-11 ***
## lweight      0.50854    0.15017   3.386  0.00104 ** 
## sviinvasion  0.66616    0.20978   3.176  0.00203 ** 
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 0.7168 on 93 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.6264,	Adjusted R-squared:  0.6144 
## F-statistic: 51.99 on 3 and 93 DF,  p-value: < 2.2e-16

De parameter bij lcavol geeft nu aan dat patiënten met een tumorvolume dat 1% hoger ligt, maar eenzelfde prostaat gewicht en svi status hebben, een prostaat antigeen concentratie zullen hebben dat gemiddeld slechts 0.55% hoger ligt. De reden dat we eerder een verschil van meer dan 0.7% vonden, kan worden verklaard doordat patiënten met een verschil in tumorvolume vaak ook verschillen in prostaat gewicht en svi status.

De parameter voor svi kunnen we als volgt interpreteren: de prostaat antigeen concentratie ligt gemiddeld een factor exp(0.666)=1.95 hoger voor patiënten met invasie van de zaadblaasjes dan voor patiënten zonder invasie van de zaadblaasjes na correctie voor het prostaat gewicht en het tumorvolume. De introductie van de factor svi in het additieve model zorgt ervoor dat we twee regressievlakken bekomen die evenwijdig zijn maar een verschillend intercept hebben (zie Figuur 61).

De \(R^2\)-waarde in bovenstaande analyse bedraagt 62.6% en geeft aan 62.6% in de variabiliteit van het log-PSA verklaard kan worden d.m.v. het tumorvolume, het prostaat gewicht en de status van de zaadblaasjes.

Figuur 61: Fit van het additieve model met termen lcavol, lweight en svi. De figuur geeft duidelijk weer dat de gemiddelde lpsa toeneemt i.f.v. het log-tumorvolume, het log-prostaatgewicht en de invasie van de zaadblaasjes. Merk op dat de fit resulteert in twee parallele vlakken, een regressievlak voor patiënten zonder (blauw) en met invasie van de zaadblaasjes (oranje).