In 1741 lostte Euler¹ het beroemde Bazel-probleem² op.

Hij bewees dat de (oneindige) som van de omgekeerden van de kwadraten van de natuurlijke getallen gelijk is aan \(\frac{\pi^2}{6}\), met andere woorden:

\[\mathsf{\dfrac{\pi^2}{6} = \dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}+\ldots}\]

Je kan deze uitdrukking omvormen om de waarde van π te berekenen (in de praktijk: benaderen)

\[\mathsf{\pi = \sqrt{6\cdot \left( \dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}+\ldots \right)}}\]

Opgave

Bepaal een benadering voor het getal π met bovenstaande uitdrukking. Schrijf een programma dat naar het aantal termen vraagt en vervolgens via een begrensde herhaling de benadering uitrekent. Rond de benadering af op 6 cijfers na de komma.

Voorbeelden

Indien de gebruiker 2 intikt, dan wordt de volgende berekening uitgevoerd:

\[\mathsf{\sqrt{6 \cdot \left(\dfrac{1}{1^2} + \dfrac{1}{2^2}\right ) } \approx 2,738613\ldots}\]

Zodat er verschijnt:

De Bazel-benadering van pi met 2 termen is 2.738613

Indien de gebruiker 4 intikt, dan wordt de volgende berekening uitgevoerd:

\[\mathsf{\sqrt{6 \cdot \left(\dfrac{1}{1^2} + \dfrac{1}{2^2}+ \dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}\right )}\approx 2,922613\ldots}\]

Zodat er verschijnt:

De Bazel-benadering van pi met 4 termen is 2.922613