Test-statistiek

Eens de populatie, de parameters en de nulhypothese en alternatieve hypothese bepaald zijn, kan de basisgedachte van een hypothesetest als volgt bondig beschreven worden.

Construeer een teststatistiek zodanig dat deze

1. de evidentie meet die aanwezig is in de steekproef,
2. tegen de gestelde nulhypothese,
3. ten voordele van de alternatieve hypothese.

Een teststatistiek is dus noodzakelijk een functie van de steekproefobservaties.

Voor het captopril voorbeeld drukt de statistiek

\[T=\bar X - \mu_0\]

uit hoever het steekproefgemiddelde van de bloeddrukdaling ligt van het gemiddelde \(\mu_0=0\) in de populatie onder de nulhypothese.

• Als \(H_0\) waar is en er dus geen effect is van captopril in de populatie, dan verwachten we dat de teststatistiek T dicht ligt bij \(T=0\)
• Als \(H_1\) waar is, dan verwachten we dat \(T<0\).

In de praktijk gebruiken we echter meestal teststatistieken die niet alleen de grootte van het effect in rekening brengen maar ook de onzekerheid op het effect. We doen dit door de effectgrootte te balanceren t.o.v. de standard error.

\[T=\frac{\bar{X}-0}{\text{SE}_{\bar X}}\]

Waarbij \(\mu_0=0\) voor het captopril voorbeeld.

Opnieuw geldt dat

• Als \(H_0\) waar is en er dus geen effect is van captopril in de populatie, dan verwachten we dat de teststatistiek T dicht ligt bij \(T=0\)
• Als \(H_1\) waar is, dan verwachten we dat \(T<0\).
• Voor het captopril voorbeeld vinden we \(t=(-18.93-0)/2.33=-8.12\).
• Is \(t = -8.12\) groot genoeg in absolute waarde om te kunnen besluiten dat \(\mu < 0\) en met welke zekerheid kunnen we dit besluiten?

Om daar een uitspraak over te doen zullen we de teststatistiek T verder bestuderen. T is een toevalsveranderlijke en de verdeling van T hangt af van de verdeling van de steekproefobservaties, maar die verdeling is ongekend! We hebben normaliteit verondersteld, maar dit laat nog steeds het gemiddelde en de variantie onbepaald. Bovendien wordt de hypothesetest net geconstrueerd om een uitspraak te kunnen doen over het gemiddelde \(\mu\)! De oplossing zit in de nulhypothese die we kunnen veronderstellen als er geen effect is van captopril. De \(H_0\) stelt dat \(\mu=0\). Als we aannemen dat \(H_0\) waar is, dan is het gemiddelde van de normale distributie gekend! Als de bloeddrukverschillen \(X_1, \ldots X_{15}\) onafhankelijk en identiek normaal verdeeld (i.i.d.) zijn, dan weten we dat

\[\bar X \stackrel{H_0}{\sim} N(0, \sigma^2/n)\]

Gezien we \(\sigma^2\) niet kennen kunnen we deze vervangen door de steekproef variantie. Dan weten we dat

\[T=\frac{\bar{X}-0}{\text{SE}_{\bar X}}\stackrel{H_0}{\sim} t(n-1)\]

een t-verdeling volgt met n-1 vrijheidsgraden onder de nulhypothese. We weten dat indien de alternatieve hypothese waar zou zijn, we mogen verwachten dat er meer kans is op het observeren van een kleine waarde voor de teststatistiek dan wat verwacht wordt onder de nulhypothese. We zullen de verdeling van de teststatistiek onder de nulhypothese gebruiken om na te gaan of de geobserveerde test-statistiek \(t = -8.12\) klein genoeg is om te kunnen besluiten dat \(\mu < 0\).

• Is de geobserveerde teststatistiekwaarde (\(t=-8.12\)) een waarde die we verwachten als \(H_0\) waar is, of is het een waarde die onwaarschijnlijk klein is als \(H_0\) waar is?
• In het laatste geval deduceren we dat we niet langer kunnen aannemen dat \(H_0\) waar is, en dienen we dus \(H_1\) te concluderen.
• De vraag blijft: (a) hoe groot moet de geobserveerde teststatistiek \(t\) zijn opdat we \(H_0\) verwerpen zodat (b) we bereid zijn om \(H_1\) te besluiten en (c) hoe zeker zijn we van deze beslissing?
• Het antwoord hangt samen met de interpretatie van de kansen die berekend kunnen worden op basis van de nuldistributie en de geobserveerde teststatistiek \(t\).