Prevalentie $p$ is een zeer belangrijk begrip in de studie van ziektes. Het is de kans op het voorkomen van een ziekteverschijnsel of aandoening in een bepaalde populatie. Bijvoorbeeld: de prevalentie van obesitas in de Verenigde Staten werd in 2001 geschat op ongeveer 21%. Met andere woorden, de kans dat een willekeurig gekozen Amerikaan obees is, is ongeveer 21%.

De centrale vraag is natuurlijk, hoe schat je de prevalentie? De meest voor de hand liggende methode is om het aantal gevallen te delen door de populatiegrootte. Zijn er 21 obese personen op 100 mensen, dan is het logisch om de prevalentie (kans op) obesitas te schatten op 21%.

In 1998 formuleerde de Amerikaanse statistici Alan Agresti en Brent Coull een alternatieve schatter $\hat p$ voor de prevalentie:

\[\hat p = \dfrac{X+2}{n+4}\]

waarbij $X$ het aantal gevallen met die ziekte of aandoening voorstelt en $n$ het totale aantal gevallen. Het voorstel van Agresti & Coull doet het vooral beter bij hoge of lage prevalenties.

Gevraagd

Maak eerst een functie agresti_coull(vector) waarbij vector een booleaanse vector voorstelt. De functie berekent dan de prevalentie op basis van bovenstaande formule. Rond het percentage af op 2 cijfers na de komma.

Zo moet bijvoorbeeld gelden dat: agresti_coull( c(TRUE, TRUE, FALSE, TRUE, FALSE) ) gelijk is aan $\dfrac{3+2}{5+4} \approx 55,55\%$.

In het vervolg van deze opgave ga je de functie toepassen op de NHANES (National Health and Nutrition Examination Survey) dataset. Deze data bevat heel wat informatie over een pak Amerikanen in de periode van 2009 en 2012. Via onderstaande code kan je de dataset ophalen:
```
# NHANES dataset
data <- read.csv("https://raw.githubusercontent.com/GTPB/PSLS20/master/data/NHANES.csv",
               header = TRUE)
data <- na.omit(data[, c("Gender","Age","BMI","Diabetes", "DaysMentHlthBad", "AlcoholYear")])
data$Diabetes <- data$Diabetes == "Yes"
rownames(data) <- seq_len(nrow(data))
colnames(data) <- c("gender","age","bmi","diabetes","days_bad_mental_health","days_alc")
```
Een inleidende blik krijgen we via head(data), er werd een beperkte selectie van de grote hoeveelheid data gemaakt.
```
  gender age   bmi   diabetes days_bad_mental_health days_alc
1   male  34 32.22      FALSE                     15        0
2   male  34 32.22      FALSE                     15        0
3   male  34 32.22      FALSE                     15        0
4 female  49 30.57      FALSE                     10       20
5 female  45 27.24      FALSE                      3       52
6 female  45 27.24      FALSE                      3       52
```
diabetes is een booleaanse kolom, met TRUE indien de persoon diabetes heeft. De kolom days_bad_mental_health bevat op hoeveel van de laatste 30 dagen de persoon zich mentaal slecht voelde. days_alc bevat het aantal dagen op het voorbije jaar dat de persoon alcohol dronk.
Het doel is nu de (Agresti-Coull) prevalentie van diabetes te bepalen in de groep die weinig versus veel acohol gebruikt. Bepaal hiervoor eerst de variabele mediaan_alc waarin je de mediaan bepaalt van het aantal dagen waarop alcohol werd gedronken.
Maak nu de booleaanse vector weinig_alc waar je in opslaat welke personen minder dan het mediane aantal dagen alcohol gebruikten.
Selecteer nu uit de kolom diabetes de personen die weinig alcohol gebruiken. Gebruik daarna de vorige functie agresti_coull() en deze nieuwe vector om de prevalentie van diabetes in deze groep te schatten. Sla dit op in p_diabetes_weinig_alc.
Doe daarna hetzelfde voor de prevalentie in de groep die veel acohol gebruikt, sla dit op in p_diabetes_veel_alc.