We hebben een reeks experimenten opgezet waarbij we telkens aan een batch van 1000 liter een hoeveelheid 1 N NaOH hebben toegevoegd van gemiddeld $$\bar{x} = 1326\,\text{ml}$$, met standaardafwijking $$s = 232\,\text{ml}$$. Het 99% betrouwbaarheidsinterval (in milliliters) is dan \[ \left[1362 - 3.055 \times 232 \times \sqrt{\frac{14}{13}}, 1362 + 3.055 \times 232 \times \sqrt{\frac{14}{13}}\right] = \left[626, 2098\right] \] Het 99% betrouwbaarheidsinterval (in milliliters) rond $$\mu$$ is dan \[ \left[1362 - 3.055 \times 232 \times \frac{1}{\sqrt{13}}, 1362 + 3.055 \times 232 \times \frac{1}{\sqrt{13}}\right] = \left[1165, 1599\right] \]

Opgave

Stel dat we een dataset hebben die bestaat uit $$n \in \mathbb{N}_0$$ metingen $$\{x_1, x_2, \ldots, x_n\}$$. In een traditionele analyse van meetgegevens gaat men ervan uit dat de meetgegevens compleet zijn. Er zijn met andere woorden geen ontbrekende gegevens. In dat geval berekenen we het steekproefgemiddelde $$\bar{x}$$ als \[ \bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}\] en de steekproefvariantie $$s^2$$ als \[ s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}x_i^2 - \frac{n}{n-1}\bar{x}^2 \] De standaardafwijking van de steekproef wordt bepaald als de vierkantswortel van de steekproefvariantie.

Het $$(1 - \alpha)$$% betrouwbaarheidsinterval voor een individuele meting is dan \[ \left[ \bar{x} - t_{\alpha} \times s \times \sqrt{\frac{n+1}{n}}, \bar{x} + t_{\alpha} \times s \times \sqrt{\frac{n+1}{n}} \right] \]

Invoer

Een regel met een getal $$n \in \mathbb{N}_0$$. Daarna volgen $$n$$ regels die elk één meting bevatten uit een dataset $$\{x_1, x_2, \ldots, x_n\}$$, waarbij $$x_i \in \mathbb{R}$$ ($$i = 1, 2, \ldots, n$$).

Uitvoer

Drie regels met daarop het steekproefgemiddelde, de steekproefvariantie en de standaardafwijking van de gegeven dataset. Het formaat van de uitvoer kan je afleiden uit onderstaand voorbeeld.

Voorbeeld

Invoer:

8
0.96
0.93
1.24
1.49
1.50
1.56
1.61
1.78

Uitvoer:

gemiddelde: 1.3837499999999998
variantie: 0.0957410714285718
standaardafwijking: 0.30942054138109804

Resources