In de 3-dimensionale ruimte wordt een loodrechte projectie op een vlak dat het punt $(0, 0, 0)$ bevat, ondubbelzinnig voorgesteld door een normaalvector $\overrightarrow{u}$ van dit vlak. Anderzijds wordt de loodrechte projectie ook door een reële $3\times 3$ projectiematrix $\mathbf{P}$ voorgesteld, zodat de projectie van het punt met coördinaat $(x,y,z)$ kan gevonden worden uit

$\mathbf{P}\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)$

In deze oefening gaan we op zoek naar de projectiematrix $\mathbf{P}$, gegeven een normaalvector $\overrightarrow{u}$ van het projectievlak. Hierbij ga je als volgt tewerk:

• zoek een genormeerde normaalvector $\overrightarrow{v}$ (bij voorbeeld $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{u}/||\overrightarrow{u}||$ met $||\overrightarrow{u}||$ de norm van de vector $\overrightarrow{u}$)
• construeer de projectiematrix $\mathbf{P}$ uit
  $\mathbf{P}={\mathbf{I}}_{\mathbf{3}}-\mathbf{v}\cdot {\mathbf{v}}^T$
  Hierin is $\mathbf{v}$ de kolomvector die de coördinaten van de vector $\overrightarrow{v}$ bevat.

Schrijf de functie projectiematrix() met als enig argument een kolomvector $\mathbf{u}$, voorgesteld door een NumPy-rij (dus een rij in 1 dimensie). De functie geeft een NumPy-tabel (dus een 2-dimensionale rij) terug, die de projectiematrix van de loodrechte project op het vlak gedefinieerd door $\overrightarrow{u}$ voorstelt.

Argumenten

De kolomvector (als NumPy-rij, 1D) die de normaalvector op het projectievlak voorstelt

Resultaat

Een $3\times 3$ projectiematrix als NumPy-tabel (2D).

Voorbeeld

n1 = np.array([1., 5., 1.])
projectiematrix(n1) = 
[[ 0.96296296 -0.18518519 -0.03703704]
 [-0.18518519  0.07407407 -0.18518519]
 [-0.03703704 -0.18518519  0.96296296]]