Historische en wiskundige achtergrond

Deze paragraaf is weliswaar erg interessant, maar niet noodzakelijk voor de eigenlijke opgave. Je kan deze paragraaf dan ook gerust overslaan.

De methode van Heroon is een methode om de vierkantswortel uit een positief reëel getal te benaderen. De methode was al in Mesopotamië bekend in de 18de eeuw v.C. en werd in de 1ste eeuw n.C. door Heroon van Alexandrië beschreven.

De basisgedachte achter de methode is de volgende: als het getal \(b\) een schatting is van \(\sqrt {a}\), dan is ook \(\displaystyle c = \frac{a}{b}\) een schatting voor \(\sqrt {a}\). Als \(b \leq \sqrt{a}\), dan zal \(\sqrt{a} \leq c\), en vice versa. We hebben dus twee schattingen voor \(\sqrt{a}\): een eerste die (mogelijk) iets te klein is, en een tweede die (mogelijk) iets te groot is. Het ligt dan voor de hand om het gemiddelde van \(b\) en \(c\) als benadering te kiezen voor \(\sqrt {a}\).

Algoritme

Concreet kan je \(\sqrt{a}\) benaderen via onderstaand algoritme:

• Bepaal het grootste gehele getal \(b\) waarvoor geldt dat \(b \leq \sqrt{a}\).
• Bereken \(\displaystyle c = \frac{a}{b}\).
• De gezochte benadering van \(\sqrt{a}\) is dan gelijk aan \(\displaystyle x = \frac{b+c}{2}\).

Voorbeeld

Voor \(a=165\) vinden we achtereenvolgens:

• \(b = 12\);
• \(\displaystyle c = \frac{165}{12} = 13.75\);
• \(\displaystyle x = \frac{12 + 13.75}{2} = 12.875\) is onze benadering voor \(\sqrt{165}\)

Opgave

Schrijf een programma dat de waarde van een getal \(a\) vraagt. Je programma berekent op basis van bovenstaand algoritme de benadering voor \(\sqrt{a}\). Als uitvoer wordt op een eerste lijn de benadering voor \(\sqrt{a}\) getoond, afgerond op 3 decimalen. Op een tweede lijn wordt \(\sqrt{a}\) getoond, afgerond op 3 decimalen.

Invoer:

Geef de waarde van a: 165

Uitvoer:

12.875
12.845