Een alternatieve methode om de vierkantswortel te berekenen werd beschreven in het Bakshali manuscript¹. Vernoemd naar het dorp waar dit manuscript werd gevonden, tegenwoordig in Pakistan.

Deze methode werkt op een analoge manier. Stel dat we de vierkantswortel willen berekenen van een natuurlijk getal s.

• We starten met een initiële schatting van s, en noemen die x0.
• Daarna bereken we in elke stap een meer nauwkeurige benadering van de vierkantswortel op basis van de volgende formule, waar telkens hulpvariabelen an en bn berekend worden:

\[a_n = \dfrac{s - x_n^2}{2\cdot x_n},\qquad b_n = x_n + a_n, \qquad\qquad x_{n+1} = b_n - \dfrac{a_n^2}{2\cdot b_n}\]

Laten we dit algoritme bijvoorbeeld eens toepassen voor de berekening van \(\sqrt{17}\). We kiezen \(x_0=6\) als een initiële schatting voor \(\sqrt{17}\). In een volgende stap bekomen we de volgende meer nauwkeurige benadering van de vierkantswortel:

\[a_0 = \dfrac{17-6^2}{12}, \qquad b_0 = 6 + a_0, \qquad\qquad x_1 = b_0 - \dfrac{a_0^2}{2\cdot b_0} = 4,132861635\ldots\]

Daarna moeten we deze procedure gewoon blijven herhalen om de benadering te verbeteren.

\[a_1 = \dfrac{17-x_1}{2\cdot x_1}, \qquad b_1 = x_1 + a_1, \qquad\qquad x_2 = b_1 - \dfrac{a_1^2}{2\cdot b_1}= 4,123105626\ldots\]

Opgave

Schrijf een functie bakshali_methode() met twee getallen als parameter, het eerste is het grondtal van de wortel s, het tweede de initiële schatting x0. Laat de methode stoppen indien de verbetering kleiner is dan 10-12 (pow( 10, -12 )).

Druk ook telkens de stap en de benaderde waarde af.

Voorbeelden

De uitvoer voor grondtal 17 en startwaarde 6 is:

>>> bakshali_methode( 17, 6 ) 
0 : 6
1 : 4.132861635220126
2 : 4.12310562563374
3 : 4.123105625617661