Jullie weten uit het hoofd dat:

\[\mathsf{\cos \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,86602540}\]

Maar hoe berekent een computer de cosinus van een willekeurige hoek?

Computers berekenen voor een hoek \(\mathsf{x}\) (in radialen uitgedrukt natuurlijk) de goniometrische waarde door middel van een oneindig product:

\[\mathsf{\cos x = \prod_{n=1}^\infty \left( 1 - \dfrac{4\cdot x^2}{\pi^2 (2n-1)^2} \right)}\]

Gevraagd

We programmeren deze formule voor de hoek \(\mathsf{x = \dfrac{\pi}{6}}\), in dit geval ziet de vorige formule er (na vereenvoudiging) als volgt uit:

\[\mathsf{\cos x = \prod_{n=1}^\infty \left( 1 - \dfrac{1}{9\cdot (2n-1)^2} \right)}\]

Maak een functie cos_benadering(aantal) waarbij aantal het aantal factoren uit het product voorstelt. Zo geldt dat cos_benadering(3) overeenkomt met

\[\mathsf{ \left(1-\dfrac{1}{9\cdot 1^2}\right)\cdot \left(1-\dfrac{1}{9\cdot 3^2}\right)\cdot \left(1-\dfrac{1}{9\cdot 5^2}\right) \approx 0.8740131078}\]

Laat R het resultaat van het product afronden op 9 cijfers na de komma.

Voorbeelden

De eerste 3 factoren van het product berekenen resulteert in:

> cos_benadering(3)
[1] 0.8740131078

De eerste 10 factoren van het product berekenen resulteert in:

> cos_benadering(10)
[1] 0.8684324820