Dollarbiljetten met zeldzame serienummers zijn in de ogen van sommige numismatisten ware collector's items. Biljetten met een standvastig serienummer, een radar, een ladder of een ander eigenaardig serienummer krijgen daardoor een veel hogere waarde dan coupures met hetzelfde bedrag, van dezelfde reeks en in dezelfde staat. Maar hoe zeldzaam zijn deze eigenaardige serienummers eigenlijk? Dave Undis, zelf een verzamelaar, zocht het uit en publiceerde er in 2011 een artikel over in het tijdschrift Paper Money.

Moderne Amerikaanse dollarbiljetten hebben unieke serienummers van acht cijfers die lopen van 00000001 tot en met 99999999. Er zijn dus 99 999 999 verschillende serienummers van acht cijfers. Om de zaken eenvoudig te houden, zullen we ervan uitgaan dat alle serienummers evenveel kans hebben om voor te komen op een willekeurig geselecteerd dollarbiljet. In werkelijkheid zijn sommige serienummers moeilijker te vinden omdat het Bureau of Engraving and Printing¹ ze doorgaans uit productie verwijdert voor ze in omloop komen, en ze vervangt door dollarbiljetten met sterretjes². Bovendien beginnen niet alle oplagen bij 00000001 of gaan ze niet helemaal tot 99999999. Maar dit heeft weinig invloed op onze analyse. (Om het rekenen wat te vereenvoudigen, zullen we soms het onbestaande serienummer 00000000 insluiten, wat het totaal aantal serienummers op 100 000 000 brengt, maar we zullen er altijd aan denken om dit onbestaande serienummer terug te verwijderen uit het eindresultaat).

In een standvastig serienummer zijn alle cijfers hetzelfde. Er zijn dus negen standvastige serienummers: 11111111, 22222222, 33333333, 44444444, 55555555, 66666666, 77777777, 88888888 en 999999999.

Een ladder is een serienummer waarvan alle cijfers één hoger (of lager) zijn dan het vorige cijfer. Er zijn slechts zes ladders van acht cijfers: 01234567, 12345678, 23456789, 76543210, 87654321 en 987654321. (Er zijn er acht als je ook 34567890 en 09876543 meerekent.)

Een radar is een serienummer waarvan de laatste vier cijfers het omgekeerde zijn van de eerste vier cijfers. Voorbeelden zijn 11188111 en 20066002.

Een repeater is een serienummer waarvan de laatste vier cijfers dezelfde zijn als de eerste vier cijfers. Voorbeelden zijn 11181118 en 20062006.

Om te berekenen hoeveel radars en repeaters er zijn, is het handig om de serienummers van acht cijfers op te delen in hun twee helften. Beschouw de eerste helft. Er zijn 10 000 mogelijke getallen voor deze eerste helft: 0000 tot en met 9999. Beschouw nu de tweede helft. Er zijn opnieuw 10 000 mogelijke getallen voor deze tweede helft. Van deze 10.000 mogelijkheden is er slechts één gelijk aan de eerste helft en slechts één het omgekeerde van de eerste helft. Daardoor zijn er 10 000 radars en 10 000 repeaters. In deze aantallen zijn ook het onbestaande serienummer 0000000 en de negen standvastige serienummers meegerekend. Als we deze buiten beschouwing laten, dan zijn er 9 990 radars en 9 990 repeaters.

Een superradar is een speciaal soort radar. Een superradar is een radar waarvan de middelste zes cijfers gelijk zijn. Voorbeelden zijn 71111117 en 98888889. Er zijn 99 superradars: 01111110, 02222220, 03333330, …, 97777779, 98888889 en 99999999. Negen daarvan zijn standvastige serienummers. Als we deze buiten beschouwing laten, dan zijn er 90 superradars.

Een superrepeater is een speciaal soort repeater. Een superrepeater is een repeater waarvan de eerste twee cijfers vier keer herhaald worden. Voorbeelden zijn 26262626 en 78787878. Er zijn 99 superrepeaters: 01010101, 02020202, 03030303, …, 97979797, 98989898 en 99999999. Negen daarvan zijn standvastige serienummers. Als we deze buiten beschouwing laten, dan zijn er 90 superrepeaters.

Een radarrepeater is zowel een radar als een repeater. Voorbeelden zijn 26622662 en 87788778. Er zijn 99 radarrepeaters: 01100110, 02200220, 03300330, …, 97799779, 98899889 en 99999999. Negen daarvan zijn standvastige serienummers. Als we deze buiten beschouwing laten, dan zijn er 90 radarrepeaters.

Een dubbel kwartet is een serienummer waarvan de eerste vier cijfer allemaal gelijk zijn, en de laatste vier cijfers ook allemaal gelijk zijn, maar verschillend van de eerste vier cijfers. Voorbeelden zijn 11114444 en 22226666. Er zijn 99 dubbele kwartetten: 00001111, 00002222, 00003333, …, 99997777, 99998888 en 99999999. Negen daarvan zijn standvastige serienummers. Als we deze buiten beschouwing laten, dan zijn er 90 dubbele kwartetten.

Een zeven-op-een-rij is een serienummer met zeven gelijke opeenvolgende cijfers. Voorbeelden zijn 11111112 en 35555555. Van elk van de negen standvastige serienummers kan je telkens 18 zeven-op-een-rij serienummers maken: negen door het eerste cijfer te veranderen en negen door het laatste cijfer te veranderen. Dit zijn bijvoorbeeld de negen zeven-op-een-rij serienummers die je kunt maken door het eerste cijfer van het standvastige serienummer 99999999 te veranderen: 09999999, 19999999, 29999999, 39999999, 49999999, 59999999, 69999999, 79999999 en 89999999. Je kunt ook nog eens 18 zeven-op-een-rij serienummers maken door het eerste of het laatste cijfer van het onbestaande serienummer 00000000 te veranderen. Er zijn dus in totaal 180 zeven-op-een-rij serienummers.

Een zeven-van-hetzelfde is een serienummer met zeven gelijke cijfers. Voorbeelden zijn 44444424 en 99899999. Van elk van de negen standvastige serienummers kan je telkens 72 zeven-van-hetzelfde serienummers maken: negen door elk van de acht cijfers te veranderen. Je kunt ook nog eens 72 zeven-op-een-rij serienummers maken door elk van de acht cijfers van het onbestaande serienummer 00000000 te veranderen. Er zijn dus in totaal 720 zeven-van-hetzelfde serienummers, met inbegrip van de 180 zeven-op-een-rij serienummers.

In een binair serienummer komen slechts twee verschillende cijfers voor op de acht posities. Voorbeelden zijn 10100111 en 11181888. Om in te zien hoeveel binaire serienummers er zijn, kies je twee verschillende cijfers van 0 tot en met negen. 20% van alle serienummers hebben één van deze cijfers op de eerste positie. Daarvan hebben er 20% één van deze cijfers op de tweede positie. Nog eens 20% daarvan hebben één van deze cijfers op de derde positie. Zo gaat het verder tot en met de achtste positie. Er geldt dus dat \[20\% \times 20\% \times 20\% \times 20\% \times 20\% \times 20\% \times 20\% \times 20\%\] van alle serienummers één van deze twee cijfers heeft op elk van de acht posities. Dat zijn 256 serienummers. Twee van deze serienummers zijn standvastig, waardoor er nog 254 overblijven. Er zijn 45 verschillende manieren om twee verschillende cijfers tussen 0 en 9 te kiezen. Als we 254 vermenigvuldigen met 45, dan krijgen we dat er in totaal 11 430 binaire serienummers zijn (exclusief de standvastige serienummers).

Onderstaande tabel zet alles netjes op een rijtje. Voor elk van de verschillende soorten zeldzame serienummers geeft ze aan hoeveel er voorkomen in een reeks van 99 999 999 dollarbiljetten. Ze geeft ook de kans aan om elke soort serienummer te zien op een willekeurig geselecteerd dollarbiljet uit een reeks van 99.999.999 biljetten.

Zoals we reeds eerder aangaven, zal een willekeurig dollarbiljet doorgaans niet afkomstig zijn uit een reeks van 99 999 999 biljetten. Maar deze tabel zal nog altijd een goed startpunt vormen voor verdere analyse en verzamelplezier.

Opgave

We stellen een serienummer voor als een strikt positief natuurlijk getal (int) of als een string (str) die bestaat uit één of meer cijfers die niet allemaal nul zijn. Het aantal cijfers ligt dus niet vast, maar er is er altijd minstens één. Bij de omzetting van een serienummer naar zijn stringvoorstelling (str), vullen we het serienummer eventueel aan met voorloopnullen tot de stringvoorstelling uit minstens acht cijfers bestaat. Gevraagd wordt:

• Schrijf een functie serienummer waaraan een serienummer (int of str) moet doorgegeven worden. De functie moet de stringvoorstelling van het serienummer (str) teruggeven. Als het serienummer uit minder dan acht cijfers bestaat, dan wordt die stringvoorstelling aangevuld met voorloopnullen tot ze uit acht cijfers bestaat.

• Schrijf een functie standvastig waaraan een serienummer (int of str) moet doorgegeven worden. De functie moet een Booleaanse waarde (bool) teruggeven die aangeeft of het serienummer standvastig is. Dat is het geval als alle cijfers in de stringvoorstelling van het serienummer hetzelfde zijn.

• Schrijf een functie radar waaraan een serienummer (int of str) moet doorgegeven worden. De functie moet een Booleaanse waarde (bool) teruggeven die aangeeft of het serienummer een radar is. Dat is het geval als de stringvoorstelling van het serienummer hetzelfde leest van links naar rechts als van rechts naar links. Standvastige serienummers zijn echter per definitie nooit radars.

• Schrijf een functie repeater waaraan een serienummer (int of str) moet doorgegeven worden. De functie moet een Booleaanse waarde (bool) teruggeven die aangeeft of het serienummer een repeater is. Dat is het geval als de eerste en de tweede helft van de stringvoorstelling van het serienummer gelijk. Standvastige serienummers zijn echter per definitie nooit repeaters.

• Schrijf een functie radarrepeater waaraan een serienummer (int of str) moet doorgegeven worden. De functie moet een Booleaanse waarde (bool) teruggeven die aangeeft of het serienummer een radarrepeater is. Dat is het geval als het serienummer zowel een rader als een repeater is.

• Schrijf een functie numismatist waaraan een reeks (list of tuple) van serienummers (int of str) moet doorgegeven worden. Deze functie moet een nieuwe lijst (list) teruggeven met daarin de serienummers uit de gegeven reeks die behoren tot een bepaalde soort. Standaard zijn we op zoek naar standvastige serienummers, maar de functie numismatist heeft ook nog een tweede optionele parameter soort. Daaraan kan een functie doorgegeven worden, waaraan een serienummer (int of str) kan doorgegeven worden en die een Booleaanse waarde (bool) teruggeeft die aangeeft of het gegeven serienummer behoort tot de soort waarnaar we op zoek zijn.

Al deze functies moeten een AssertionError opwerpen met de boodschap ongeldig serienummer, als er een argument wordt doorgeven dat geen geldig serienummer is.

Voorbeeld

>>> serienummer(834783)
'00834783'
>>> serienummer('47839')
'00047839'
>>> serienummer(834783244839184)
'834783244839184'
>>> serienummer('4783926132432*')
Traceback (most recent call last):
AssertionError: ongeldig serienummer

>>> standvastig(44444444)
True
>>> standvastig('44544444')
False

>>> radar(1133110)
True
>>> radar('83289439')
False

>>> repeater(20012001)
True
>>> repeater('83289439')
False

>>> radarrepeater('12211221')
True
>>> radarrepeater('83289439')
False

>>> numismatist([33333333, 1133110, '77777777', '12211221'])
[33333333, '77777777']
>>> numismatist([33333333, 1133110, '77777777', '12211221'], radar)
[1133110, '12211221']
>>> numismatist([33333333, 1133110, '77777777', '12211221'], soort=repeater)
['12211221']

Bronnen

• Undis D (2011). How Rare are Fancy Serial Numbers? Paper Money 274, 293-297. ³