Model

Op basis van de boxplots in Figuur 42 zien we dat de variantie gelijk lijkt te zijn tussen de verschillende behandelingsgroepen. Er is een indicatie dat het gemiddeld prostacycline niveau verschilt tussen de behandelingsgroepen. In het bijzonder voor de hoge dosisgroep H (50 eenheden). Er zijn geen grote verschillen in de interkwartiel range (box-groottes). De QQ-plots in Figuur 43 tonen geen grote afwijkingen aan van Normaliteit. De QQ-plot geeft een indicatie dat mogelijks een outlier voorkomt in groep L. Deze wordt echter niet door de boxplots gesignaleerd.

We kunnen dus volgend statistisch model voorop stellen:

$$Y_i|\text{groep j}\sim N({\mu }_j,{\sigma }^2),$$

met $j=\text{1, 2, 3}$, respectievelijk de lage, matige en hoge dosisgroep. Hierbij veronderstellen we dus dat de data Normaal verdeeld zijn met een gelijke variantie binnen elk van de $g=3$ groepen, ${\sigma }^2$, maar met een verschillend groepsgemiddelde ${\mu }_j$.

De onderzoeksvraag kan nu vertaald worden in termen van het model. De onderzoekers wensen aan te tonen dat het arachidonzuur niveau een effect heeft op de gemiddelde prostacycline concentratie in het bloed.

Dat vertaalt zich in volgende nulhypothese, de arachidonzuurconcentratie heeft geen effect op het gemiddelde prostacycline niveau bij ratten,

$$H_0:{\mu }_1={\mu }_2={\mu }_3$$

en de alternatieve hypothese dat er een effect is van de arachidonzuurconcentratie op het gemiddelde prostacycline niveau bij ratten. Dat betekent dat minstens twee gemiddelden verschillend zijn

$$H_1:\mathrm{\exists }j,k\in \{1,\dots ,g\}:{\mu }_j\ne {\mu }_k.$$

Of letterlijk: er bestaat minstens één koppel behandelingsgroepen (j en k) waarvoor het gemiddelde prostacycline niveau ${\mu }_j$ verschillend is van dat in groep $k$, ${\mu }_k$.

Een naïeve benadering zou zijn om de nulhypothese op splitsen in partiële hypothesen

$$H_{0jk}:{\mu }_j={\mu }_k\text{ versus }{H}_{1jk}:{\mu }_j\ne {\mu }_k$$

Waarbij de gemiddelden tussen de groepen twee aan twee worden vergeleken. Met deze procedure zouden we elk van deze partiële hypothesen kunnen testen met een two-sample $t$-test. Dat zou echter leiden tot een probleem van meervoudig toetsen en een verlies aan power (zie verder). Voor dit voorbeeld zouden we met deze aanpak immers 3 t-testen moeten uitvoeren om de onderzoeksvraag te evalueren.

In dit hoofdstuk zullen we methoden introduceren om $H_0:{\mu }_1={\mu }_2={\mu }_3$ vs $H_1:\mathrm{\exists }j,k\in \{1,\dots ,g\}:{\mu }_j\ne {\mu }_k$ te testen met één enkele test. De correcte oplossing voor het testprobleem waarbij we een continue response meten en wensen te detecteren of er een verschil is in gemiddelde response tussen meerdere groepen wordt een variantie-analyse of ANOVA (ANalysis Of VAriance) genoemd.