👀 Voorbeeld – \(\pi\) via kansrekenen

We weten dat de oppervlakte van een cirkel met straal \(r\) overeenkomt met \(\pi r^2\). Laten we nu even kijken naar de figuur hieronder. De figuur toont een vierkant van 2 bij 2 met daarbinnen een ingeschreven cirkel met straal 1. De oppervlakte van deze cirkel is \(\pi · 1^2 = \pi\) en de oppervlakte van het vierkant is \(2 · 2 = 4\).

Stel nu, dat we een willekeurig punt nemen in het vierkant. Wat is dan de kans dat dit punt ook binnen de cirkel ligt?

👀 Voorbeeld – Methode 1

De kans dat het punt ook binnen de cirkel ligt, komt overeen met de verhouding van de oppervlakte van de cirkel en de oppervlakte van het vierkant: \(\pi / 4\). Om $4 \pi $$ dan te vinden, kunnen we deze kans dan simpelweg vermenigvuldigen met 4.

👀 Voorbeeld – Methode 2

We kunnen deze kans ook op een tweede manier bepalen: door heel veel willekeurige punten in het vierkant te kiezen (mooi uniform verdeeld) en na te gaan hoeveel er in de cirkel liggen.

Zo kunnen we opnieuw \(\pi / 4\) bepalen, en het resultaat vermenigvuldigen met 4.

🧠 Denkoefening – \(\pi\) met 100 willekeurige punten

Wij hebben in de figuur hieronder 100 punten willekeurig gekozen (volgens een uniforme verdeling) in het vierkant. Kan jij hiermee een schatting bepalen voor \(\pi\), door effectief te tellen hoeveel punten er binnen en buiten de cirkel liggen? Sommige punten liggen wat op de rand van de cirkel, kijk dan goed naar het middelpunt van het punt om te bepalen of dat punt wel of niet in de cirkel ligt.

Welke schatting kunnen we dan maken voor \(\pi\) ?

Voor we verder gaan, is het nuttig om met een functie te kunnen bepalen of een punt binnen de cirkel ligt of niet.

👀 Voorbeeld - Punten in een cirkel

Een punt ligt binnen een cirkel met straal 1 als de afstand tot het middelpunt kleiner dan of gelijk aan 1 is.

We nemen aan dat het middelpunt van de cirkel zich in punt (0, 0) bevindt.

De afstand van een punt (x, y) tot het middelpunt kunnen we berekenen met de formule:

afstand² = x² + y²

Een punt ligt:

• binnen of op de cirkel als:

  x² + y² ≤ 1
  

• buiten de cirkel als:

  x² + y² > 1
  

Voorbeelden:

• (0, 0) ligt binnen de cirkel
• (0.5, 0.5) ligt binnen de cirkel
• (1, 0) ligt op de cirkel
• (1, 1) ligt buiten de cirkel

💻 Programmeeroefening - Binnen of buiten de cirkel

Schrijf de functie in_cirkel(x, y).

• De functie neemt twee kommagetallen x en y.
• Beide waarden liggen steeds tussen -1 en 1.

• De functie retourneert:

  • True als het punt binnen of op de cirkel ligt
  • False als het punt buiten de cirkel ligt