Tot nu toe loste je wiskundige problemen op met een formule: je vult de gegevens in en je rekent het exacte antwoord uit. Voor de oppervlakte van een cirkel gebruik je \(\pi r^2\), voor de oplossingen van een vierkantsvergelijking de abc-formule. Maar voor heel wat problemen bestaat zo’n kant-en-klare formule niet, of is ze veel te ingewikkeld om met de hand te gebruiken.

Wat doe je dan? Dan zoek je geen exact antwoord meer, maar een benadering: een getal dat zo dicht bij de echte oplossing ligt als je zelf wil. Technieken om zulke benaderingen te berekenen, noemen we numerieke methoden.

Numerieke methoden laten ons toe om benaderingen te vinden voor oplossingen van wiskundige problemen wanneer een exacte oplossing moeilijk of onmogelijk te bereiken is.

Het basisidee: gokken en bijsturen

Bijna alle numerieke methoden werken volgens hetzelfde stramien:

1. Je begint met een ruwe schatting van de oplossing (een eerste gok).
2. Je verbetert die schatting volgens een vaste regel.
3. Je herhaalt dat verbeteren in een lus, telkens een beetje dichter bij de echte oplossing.
4. Je stopt zodra de schatting nauwkeurig genoeg is.

Dat “nauwkeurig genoeg” bepaal je zelf, met een kleine drempelwaarde die je vaak epsilon (\(\varepsilon\)) noemt. Hoe kleiner je epsilon kiest, hoe nauwkeuriger het antwoord, maar hoe meer keer de lus moet draaien. Een benadering is dus altijd een afweging tussen precisie en rekenwerk.

Merk op hoe goed dit bij programmeren past: een lus die telkens hetzelfde verbeterstapje uitvoert, is net iets waar een computer ontzettend goed (en snel) in is.

In dit hoofdstuk

Je leert twee klassieke numerieke methoden kennen, allebei opgebouwd rond zo’n herhaalde verbeterstap:

• de methode van Newton, om de vierkantswortel van een getal te berekenen zonder Math.Sqrt te gebruiken;
• de bisectiemethode, om een nulwaarde van een functie te vinden (een \(x\)-waarde waar de functie gelijk is aan 0).

Telkens vertrek je van een schatting of een interval, en knabbel je met een lus stap voor stap naar het juiste antwoord toe.