De chaostheorie¹ is een onderzoeksdomein binnen de wiskunde met toepassingen in weersvoorspelling, fysica, ingenieurswetenschappen, economie en biologie. Ze onderzoekt het gedrag van dynamische systemen die extreem gevoelig zijn voor kleine schommelingen in de begintoestand. Een effect dat beter bekend is onder zijn populaire Engelse benaming: the butterfly effect².

Kleine verschillen in de begintoestand van een dynamisch systeem — bijvoorbeeld veroorzaakt door afrondingsfouten bij numerieke berekeningen — kunnen immers een enorme impact hebben op het gesimuleerde gedrag van dergelijke systemen, waardoor voorspellingen op lange termijn schier onmogelijk worden. Dit komt zelfs voor wanneer deze systemen deterministisch zijn, wat erop neerkomt dat het gedrag van het systeem in de toekomst volledig afhangt van de begintoestand, zonder dat er willekeurige invloeden optreden. Met andere woorden, de deterministische aard van dergelijke systemen zorgt er niet voor dat ze voorspelbaar worden.

Het begrip chaos krijgt hierdoor een technische betekenis — te onderscheiden van het losse alledaagse woordgebruik — en betekent dan dat de schijnbare wanorde toch exact bepaald is en geordend tot stand komt volgens een algoritme of een rekenregel. Dit gedrag staat bekend als deterministische chaos, of kortweg chaos. Dit wordt door Edward Lorenz³ als volgt samengevat:

The fluttering of a butterfly's wing in Rio de Janeiro, amplified by atmospheric currents, could cause a tornado in Texas two weeks later.

— Edward Lorenz

Opgave

Het volgende eenvoudige model voor de groei van een populatie kan bijvoorbeeld toegepast worden op het visbestand in een meer, bacteriën in een proefbuis, of tal van andere gelijkaardige omstandigheden. Hierbij wordt verondersteld dat een populatie kan schommelen tussen 0 (volledig uitgestorven) en 1 (maximale populatie die door de omgeving getolereerd wordt).

Als de grootte of de dichtheid van de populatie op tijdstip $$t_i$$ gelijk is aan $$d$$, dan veronderstellen we dat de populatie op tijdstip $$t_{i+1}$$ gelijk is aan $$rd(1-d)$$, waarbij het argument $$r$$ — de vruchtbaarheidsparameter genoemd — de mate van groei bepaalt.

Invoer

Drie regels die achtereenvolgens de volgende informatie bevatten i) de initiële populatiedichtheid $$d \in \mathbb{R}$$, ii) de waarde van de vruchtbaarheidsparameter $$r \in \mathbb{R}$$, en iii) het aantal tijdsstappen $$s \in \mathbb{N_0}$$ waarover we de populatiedichtheid willen simuleren (inclusief het tijdstip $$t_0$$).

Uitvoer

$$s$$ regels die de populatiedichtheid bevatten op de tijdstippen $$t_0, t_1, \ldots, t_{s-1}$$.

Voorbeeld

Als $$r$$ rond de $$2$$ ligt, dan benadert de populatiedichtheid na verloop van tijd de waarde $$1 - \frac{1}{r}$$.

Invoer:

0.1
1.9
6

Uitvoer:

0.1
0.171
0.26934210000000003
0.373914173018421
0.44479449204530547
0.4692094685937818

Voorbeeld

Als $$r = 3$$ convergeert de populatiedichtheid naar een toestand waarbij alternerend tusssen twee waarden gesprongen wordt.

Invoer:

0.1
3
12

Uitvoer:

0.1
0.2700000000000001
0.5913000000000002
0.7249929299999999
0.5981345443500454
0.7211088336156269
0.603332651091411
0.7179670896552621
0.6074710434816448
0.7153499244388992
0.6108732301324811
0.7131213805199696

Voorbeeld

Als $$r \geq 4$$ dan wordt het gedrag van het model chaotisch. Dat betekent dat de resultaten extreem kunnen verschillen bij zeer kleine schommelingen van de begintoestand. Vergelijk bijvoorbeeld het verschil in gedrag tussen dit voorbeeld en het volgende voorbeeld.

Invoer:

0.1
4
60

Uitvoer:

0.1
0.36000000000000004
0.9216
... (54 regels) ...
0.977464119602946
0.08811205796713474
0.32139329283172413

Voorbeeld

Een verschil van $$0.00000000001$$ in de initiële populatiedichtheid resulteert in een groot verschil in de populatiedichtheid op tijdstip $$t_{59}$$. Dit is chaotisch gedrag, en het voorbeeld toont aan dat de populatiedichtheid extreem moelijk te voorspellen is, omdat kleine verschillen bij aanvang op termijn kunnen resulteren in grote verschillen.

Invoer:

0.10000000001
4
60

Uitvoer:

0.10000000001
0.36000000003200006
0.9216000000358401
... (54 regels) ...
0.830632498181969
0.5627286045838009
0.9842604886678766