Drop hier links of afbeeldingen om ze aan de editor toe te voegen.

Gegeven

Indien je 4 punten van een regelmatige vijfhoek gegeven hebt, kan je berekenen waar het 5e hoekpunt ligt a.d.h.v. de nulsomeigenschap van regelmatige veelhoeken. De nulsomeigenschap vertelt ons dat als we een vector van het geometrisch middelpunt van een regelmatige veelhoek naar alle hoekpunten trekken en deze vectoren samentellen, komen we terug uit in het middelpunt.

\[\mathsf{\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD} + \vec{OE} = \vec{0}}\]

Door deze formule om te vormen krijgen we:

\[\mathsf{\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD} = -\vec{OE}}\]

Met de vector \(\mathsf{\vec{OE}}\) en het coordinaat van het middelpunt kunnen we E vinden.

Opgave

Schrijf de functie vijfde_hoekpunt(hoeken) die gegeven een lijst van 4 hoeken van een regelmatige vijfhoek het 5e punt teruggeeft (als tuple). Rond de coordinaten van het 5e hoekpunt af op 6 decimalen.

Stappenplan

1. Bereken het geometrisch middelpunt.

Gegeven 3 willekeurige hoekpunten van de vijfhoek (in dit voorbeeld A, B en C):

Stappenplan.

Bepaal F, het middelpunt van A en B. (Fx ligt in het midden tussen Ax en Bx, vergelijkbaar voor Fy)
Bepaal de Rico van AB via \(\mathsf{(y_{2} - y_{1}) / (x_{2} - x_{1})}\).
Bepaal de Rico loodrecht op AB via \(\mathsf{rico_{LoodRecht} = -1 / rico}\).
Bepaal G, het middelpunt van B en C.
Bepaal de Rico van BC.
Bepaal de Rico loodrecht op BC.
Bepaal het snijpunt van de 2 nieuwe geconstrueerde rechten.

\[\mathsf{x_{middel} = \dfrac{q_{2} - q_{1}}{rico_{\text{LoodrechtAB}} - rico_{\text{LoodrechtBC}}}} \qquad \text{en} \qquad \mathsf{y_{middel} = rico_{\text{LoodrechtAB}} \cdot x_{middel} + q_{1}}\]

waarbij

\[\mathsf{q_{1} = y_{1} - (rico_{\text{LoodrechtAB}} \cdot x_{1})} \qquad \text{en} \qquad \mathsf{q_{2} = y_{2} - (rico_{\text{LoodrechtBC}} \cdot x_{2})}\]

\(\mathsf{q_{1}}\) wordt hier bepaald door de ene rechte (met F en \(\mathsf{rico_{\text{LoodrechtAB}}}\)) en \(\mathsf{q_{2}}\) wordt bepaald door de andere rechte (met G en \(\mathsf{rico_{\text{LoodrechtBC}}}\)).

2. Zoek het 5e hoekpunt

Gegeven de 4 hoekpunten A, B, C en D en het middelpunt O:

De vereenvoudigde formule komt neer op:

\[\mathsf{E = 5 \cdot O - (A + B + C + D)}\]

Je kan deze formule individueel uitvoeren voor het x- en het y-coördinaat.

Voorbeelden

>>> vijfde_hoekpunt([(1.0, 0.0), (0.309017, 0.951057), (-0.809017, 0.587785), (-0.809017, -0.587785)])
(0.309019, -0.951059)

>>> vijfde_hoekpunt([(1.5, 0.0), (0.463526, 1.426585), (-1.213526, 0.881678), (-1.213526, -0.881678)])
(0.463525, -1.42658)