In het lager en secundair onderwijs komen leerlingen de tests voor deelbaarheid door 2, 5, 3, 9, 4, 6, 8 en 11 tegen, en krijgen ze die al bij al ook vrij makkelijk onder de knie. Er wordt niet altijd uitgelegd waarom die tests werken, maar ze zijn wel makkelijk uit te voeren en de leerlingen vergeten ze ook niet snel.

Een paar oplettende leerlingen vragen zich echter af waarom het getal 7 in deze lijst ontbreekt. Heel af en toe gebeurt het dan ook dat een enthousiaste leerling zelf zo'n test ontdekt om te controleren of een getal deelbaar is door 7. Dat is natuurlijk een spannende gebeurtenis, zowel voor de leerling als voor de leerkracht, en is precies wat er gebeurde met Chika Ofili, een Nigeriaanse leerling aan de Westminster Under School¹ in Londen (Verenigd Koninkrijk).

Chika's test om te bepalen of een natuurlijk getal deelbaar is door 7 is eenvoudig genoeg om met de hand uit te voeren. We beschrijven de test hier met de woorden van zijn wiskundelerares, mevrouw Mary Ellis:

Op een verveeld moment had Chika zijn aandacht op het probleem gericht en dit is wat hij bedacht. Hij merkte dat als je het laatste cijfer van een natuurlijk getal neemt, dit met 5 vermenigvuldigt en daar vervolgens het resterende deel van het getal bij optelt, je een nieuw getal krijgt. En het blijkt dat als dit nieuw getal deelbaar is door 7, het oorspronkelijke getal ook deelbaar is door 7. Wat een gemakkelijke test!

Ze voegt er nog aan toe:

Het omgekeerde is ook waar: als je geen veelvoud van 7 krijgt, dan is het oorspronkelijke getal ook niet deelbaar door 7.

Hier zijn enkele voorbeelden die aantonen hoe de test werkt:

• Neem het getal 532. Het laatste cijfer is 2, dus de voorgeschreven bewerking is \[ 532 \longrightarrow 53 + (5 \times 2) = 63 \] Merk op dat zowel 63 als 532 veelvouden zijn van 7.

• Neem het getal 973. Het laatste cijfer is 3, dus de voorgeschreven bewerking is \[ 973 \longrightarrow 97 + (5 \times 3) = 112 \] We kunnen nu dezelfde bewerking nog eens uitvoeren met het getal 112. Het laatste cijfer is 2, dus de voorgeschreven bewerking is \[ 112 \longrightarrow 11 + (5 \times 2) = 21 \] Merk op dat zowel 21 als 973 veelvouden zijn van 7.

• Neem het getal 873. Het laatste cijfer is 3, dus de voorgeschreven bewerking is \[ 873 \longrightarrow 87 + (5 \times 3) = 102 \] We kunnen nu dezelfde bewerking nog eens uitvoeren met het getal 102. Het laatste cijfer is 2, dus de voorgeschreven bewerking is \[ 102 \longrightarrow 10 + (5 \times 2) = 20 \] Merk op dat zowel 20 als 873 geen veelvouden zijn van 7.

Invoer

Een regel met een getal $$n \in \mathbb{N}_0$$.

Uitvoer

Een reductiestap op een getal $$r \in \mathbb{N}$$ ($$r > 9$$) is een bewerking die een nieuw natuurlijk getal oplevert door het laatste cijfer van $$r$$ te vermenigvuldigen met 5 en daar het resterende deel van $$r$$ bij op te tellen.

Om te testen of getal $$n \in \mathbb{N}_0$$ deelbaar is door 7, blijven we herhaaldelijk reductiestappen uitvoeren tot we uitkomen bij het getal 49 of een getal dat kleiner is dan 10. Alle tussenresultaten van de reductiestappen moeten daarbij op een afzonderlijke regel uitgeschreven worden, te beginnen bij het getal $$n$$ zelf.

Daarna moet nog een laatste regel uitgeschreven worden die aangeeft of het getal $$n$$ deelbaar is door 7. Dat is het geval als en slechts als de reductieprocedure eindigde bij het getal 49 of het getal 7.

Voorbeeld

Invoer:

77777

Uitvoer:

77777
7812
791
84
28
42
14
21
7
77777 is deelbaar door 7

Voorbeeld

Invoer:

66666

Uitvoer:

66666
6696
699
114
31
8
66666 is niet deelbaar door 7