We beschouwen het beginwaardeprobleem
$$\begin{cases}x'(t) = f(x, t)\\x(t_0) = x_0\end{cases}$$
en zoeken een numerieke oplossing voor de functie $$x$$ via de Runge-Kutta methode van orde 4.

Schrijf de functie runge_kutta_4() met volgende argumenten:

• f : de functie $$f(x, t)$$, met 2 reële argumenten
• x0 : de waarde $$x(t_0)$$
• t0 : het beginpunt $$t_0$$
• tmax : het eindpunt waarvoor we $$x(t)$$ bepalen
• N : het aantal totaal aantal punten waar $$x(t)$$ bepaald wordt, de stapgrootte van het iteratieschema wordt dan $$h=\frac{t_{max}-t_0}{N}$$

We bepalen de functie $$x(t)$$ in de punten $$t_i = t_0 + ih$$ met $$t_i \le t_{max}$$. Het resultaat van de functie is een tuple met 2 elementen, namelijk:

• de lijst van $$t$$-waarden waar de functie berekend werd (m.a.w. $$[t_0, t_0+h, t_0 +2h, ..., t_{max}]$$)
• de lijst van bijhorende $$x$$-waarden (de twee lijsten bevatten dus evenveel elementen)

Voorbeeld

f = lambda x,t : 5*x
t, x = runge_kutta_4(f, 3.0, 0.0, 2.0, 200)
print(t[0:200+1:25]) #[0.00, 0.25, 0.50, 0.75, 1.00, 1.25, 1.50, 1.75, 2.00]
print(x[0:200+1:25]) #[3.00, 10.47, 36.55, 127.56, 445.24, 1554.04, 5424.13, 18932.06, 66079.36]