Een overheid overweegt een reeks van lockdownmaatregelen, waardoor de waarde van $$\beta$$ aangepast wordt, namelijk van de originele waarde $$\beta_1$$ naar $$\beta_2$$. Ze wil achterhalen wanneer ze die precies moet invoeren, en beslist hiertoe als drempel de fractie besmette personen te gebruiken. We onderstellen dat zodra $$\frac{I(t)}{N} > \Delta$$ de maatregel ogenblikkelijk (d.w.z. de tijdstap startend op dit moment is de nieuwe $$\beta$$-waarde al van kracht) ingevoerd wordt. De vraag is hierbij hoe lang de lockdown-periode moet duren opdat $$\frac{I(t)}{N} < \Delta$$ (m.a.w. men wil de maatregel zolang volhouden tot de fractie besmette personen beneden een vooropgegeven drempelwaarde komt te liggen). De overheid maakt gebruik van het SIR-model in combinatie met een GDV-solver gebaseerd op de methode van Euler. Schrijf de functie lockdown() met volgende argumenten:

• beta1: orginele $$\beta$$-waarde uit het SIR-model
• beta2: $$\beta$$-waarde in lockdown uit het SIR-model
• gamma: waarde $$\gamma$$ uit het SIR-model
• S0: $$S(0)$$
• I0: $$I(0)$$
• R0: $$R(0)$$
• D: de drempel $$\Delta$$ om de lockdown te starten
• d: de drempel $$\delta$$ om de lockdown te stoppen
• N: het aantal iteratiestappen van de GDV-solver
• tmax: het maximale tijdsvenster dat de overheid beschouwd, geheel.

Het resultaat van de functie is een tuple van 2 vlottendekomma-getallen, namelijk:

• de hoogte van de piek, uitgedrukt als fractie van maximaal aantal besmette personen
• de duur van de lockdown.

Indien de drempel om de lockdown te stoppen niet bereikt wordt voor tmax, dan is het resultaat van de functie -1.0, -1.0. Indien de lockdown niet moet gestart worden in het beschouwde tijdsvenster, levert de functie de waarde 0.0, 0.0 als resultaat

TIP Je kan als volgt tewerk gaan:

• Los het SIR-probleem op met de originele $$\beta$$-waarde (namelijk $$\beta_1$$), en dit voor het tijdsvenster $$[0, t_{max}]$$ met $$N$$ tijdstappen
• Kijk na of in dit tijdsvenster de lockdown moet gestart worden, indien niet, is het resultaat van de functie 0.0, 0.0, indien wel ga verder
• Zoek het moment waarop de lockdown moet starten $$t_{lock}$$, namelijk het eerste tijdstip (van de beschouwde discrete tijdswaarden) waarvoor $$\frac{I(t)}{S_0+I_0+R_0} > \Delta$$
• Los het SIR-probleem op met de nieuwe $$\beta$$-waarde (namelijk $$\beta_2$$), waarbij
  • je het SIR-probleem start met de correcte waarden voor $$S$$, $$I$$ en $$R$$ (namelijk de waarden bij start van de lockdown, verkregen uit de oplossing van het eerste SIR-probleem)
  • neem als het te beschouwen tijdsvenster $$[0, t_{max} - t_{lock}]$$ en als aantal stappen opnieuw $$N$$
• Kijk na of je binnen het tijdsvenster uit de lockdown raakt. Indien dit niet het geval is, is het resultaat van de functie -1.0, -1.0. Indien wel, ga verder.
• Noem het tijdstip waarop je uit de lockdown raakt $$t_{stop}$$. Het resultaat van je functie is het tuple zoals hierboven aangegeven. Merk op dat de duur van de lockdown gegeven is door $$t_{stop}$$

Voorbeeld

piek, duur = lockdown(1.2, 0.3, 0.2, 999, 1, 0, 0.1, 0.01, 100, 50) #0.14, 41.80