De Leibniz formule is een alternerende benadering voor het getal \(\pi\), gevonden door Gottfried Wilhelm Leibniz1. Leibniz was één van de grootste denkers uit de 17e eeuw.
Hij kon in 1673 aantonen dat de oneindige som
\[1 -\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{9}-\ldots = ?\]convergeert naar \(\dfrac{\pi}{4}\)!
Gevraagd
Maak een functie leibniz(aantal) waarbij aantal het aantal termen in de som voorstelt. Zo geldt dat leibniz(2) overeenkomt met \(1-\dfrac{1}{3} = 0,66\ldots\).
-
Laat R het resultaat van de som afronden op 6 cijfers na de komma.
-
Je kan controleren of het resultaat inderdaad \(\dfrac{\pi}{4}\) benadert. Probeer bijvoorbeeld
leibniz(10000)uit te rekenen en controleer of dit ongeveer gelijk is aanpi / 4.
Voorbeelden
De eerste 10 termen van de som optellen resulteert in:
> leibniz(10)
[1] 0.76046
De eerste 100 termen van de som optellen resulteert in:
> leibniz(100)
[1] 0.782898
Tips
- Oneven getallen maak je met de formule
2 * n - 1.- Het alternateren kan je gemakkelijk regelen via
(-1)^(1:n). Indien de exponent even is, is dit1, anders is dit-1.