die vroeger dit opleidingsonderdeel verzorgde
Opleidingsonderdeel “Statistische Dataverwerking”, Bachelor in de Bio-ingenieurswetenschappen, UGent
Opleidingsonderdeel “Beginselen van biostatistiek”, Bachelor Biomedical Sciences, KU Leuven
B.v. omdat het ook toekomstige subjecten omvat
Hierbij maken we gebruik van het feit dat voor een Normaal verdeelde observatie \(X\), \(P(X=a)=0\) voor elk reëel getal \(a\), zodat \(P(X\leq a)=P(X<a)\).
Let wel op want in verschillende boeken krijgt het symbool \(z_{\alpha}\) verschillende definities!
Dit interval bevat niet exact \((1-\alpha)100\%\) van de observaties, maar slechts bij benadering, omdat het geen rekening houdt met het feit dat \(\bar x\) en \(\sigma_x\) impreciese schattingen zijn voor \(\mu\) en \(\sigma\) op basis van een eindige steekproef. Meer accurate referentie-intervallen die deze imprecisie in rekening brengen, ook predictie-intervallen genoemd
Met “zuiver” wordt hier bedoeld dat de het zuivere interventie-effect uit de gegevens kan gehaald worden zonder dat het antwoord wordt beïnvloed door andere aspecten/variabelen. Dit wordt meer concreet in Hoofdstuk {chap:sample} uitgelegd. Voorlopig volstaat de intuïtieve betekenis van het woord.
Voorlopig verstaan we onder het feit dat een schatting voor het behandelingseffect `vertekend’ is, dat het foutief werd ingeschat of, m.a.w., dat het geschatte effect niet correct het zuivere effect van de behandeling weerspiegelt. Een meer concrete definitie volgt eveneens in Hoofdstuk {chap:sample}.
We beklemtonen dat dit in principe zo is, omdat er binnen een beperkt experiment (d.w.z met een relatief klein aantal proefpersonen/proefdieren) uiteraard toevallige verschillen tussen beide groepen kunnen ontstaan; we komen hier later op terug.
Een prognostische factor is een variabele die sterk geassocieerd is met de bestudeerde uitkomst. Bijvoorbeeld, roken is een prognostische factor voor longkanker omdat het risico op longkanker sterk verschilt tussen rokers en niet-rokers.
In Hoofdstuk chap:besluit zullen we uitleggen hoe men dit kan realiseren via een gepaarde analyse van de gegevens
gen-expressie studie waarbij gen-expressie gemeten wordt met next-generation sequencing technologie
Dus 10% van het gebied wordt uitgemaakt door de ene species, 10% door de andere, en 80% door nog een derde species.
Wat we concreet bedoelen met het feit dat er minder proefsubjecten nodig zijn om het effect met een gegeven precisie in te schatten. Voorlopig volstaat de intuïtieve betekenis van deze zin.
Zie Sectie 4.4.1.
Later zullen we zien dat het nog iets correcter is om te stellen dat 95% van de waarnemingen liggen tussen \(\bar{x} - 1.96 s_x\) en \(\bar{x} + 1.96 s_x\).
Merk op dat dit design niet optimaal is omdat replicaties op de verkeerde schaal werden bekomen. Idealiter moesten meer dan 2 stukken grond in de studie opgenomen worden omdat de 2 gekozen stukken grond in veel meer kunnen verschillen dan alleen het bodemtype. Verschillen in de verdeling van houtluizen kunnen bijgevolg niet zomaar aan het bodemtype kunnen toegeschreven worden.
Al is het nog de vraag of die associatie toevallig is, dan wel systematisch. We komen in het hoofdstuk 9. terug op technieken om dit te onderzoeken.
Dit is bijvoorbeeld het geval in logistische regressiemodellen die gebruikt worden om het risico op een bepaalde aandoening te modelleren in functie van prognostische factoren.
In het Engels is dit welbekend onder de zinsnede `Association is not causation!’.
In het Engels is dit welbekend onder de naam `ecological fallacy’.
Ook wel Statistische Inferentie genoemd
Om die reden duiden we ze aan met een hoofdletter.
Zo is het met 1 observatie voor \(\bar X\) niet mogelijk om een histogram voor \(\bar X\) uit te zetten.
In principe is een meer theoretische, mathematische ontwikkeling nodig omdit aan te tonen, maar voor het bestek van deze cursus volstaat het om het meer intuïtieve argument aan te nemen.
Merk op dat de vierkantswortel van een som niet gelijk is aan de som van de vierkantswortels. Bijgevolg is de standaarddeviatie van de som van \(X\) en \(Y\) niet de som van de corresponderende standaarddeviaties!
Denk zelf maar eens na of je gevallen kunt bedenken waar je al op voorhand, zonder ook maar observaties te zien, de variantie op een bepaalde karakteristiek kent…
De steekproefstandaarddeviatie is eveneens een toevallig veranderlijke die van steekproef tot steekproef varieert rond werkelijke standaarddeviatie. Hierdoor zal de breedte van de intervallen eveneens variëren
independent and identically distributed, onafhankelijk en gelijk verdeeld
vandaar de index 0 bij \(\mu_0\)
distributie van de teststatistiek onder de nulhypothese
meer extreem in de richting van \(H_1\)
In de frequentistische theorie die we hier volgen, is de nulhypothese immers ofwel altijd waar, ofwel altijd vals, en is het dus zelfs niet mogelijk om de kans te definiëren dat de nulhypothese waar is. Teminste, die kans is ofwel 1 ofwel 0.!
We hebben \(n_1+n_2\) observaties (vrijheidsgraden) in het experiment, om de gepoolde variantie te schatten hebben we echter 2 vrijheidsgraden verloren aangezien we eerst het gemiddelde in elke groep dienden te bepalen om de variantie te kunnen schatten.
Merk op dat we de richting “significant hoger is in de transplantatie groep” afleiden uit de groepsgemiddelden in de output en/of het BI
In de cursus zullen we naar Y refereren met de term afhankelijke variable, response variabele of uitkomst, wat 3 synoniemen zijn
Analoog aan het conditionele gemiddelde \(E(Y|X=x)\), geeft \(\text{var}(Y\vert X=x) = \sigma^2\) de variantie weer op de uitkomsten voor de subgroep van de studiepopulatie bestaande uit subjecten met een ESR1 gen expressie gelijk aan \(x\).
die zoals reeds geargumenteerd numeriek gelijk zijn aan de gemiddelde uitkomst
in de predictorpunten \(X_i\) die werden geobserveerd in de steekproef
Vandaar \(P_0\) waarbij subscript 0 aangeeft dat het een kans is onder \(H_0\)
Hier groter of gelijk aan
Merk op dat iid staat voor independent and identically distributed of onafhankelijk en gelijk verdeeld
Noot: de indexen 1 en 2 mogen gerust vervangen worden door 0 en 1 om explicieter naar \(x_i=0\) en \(x_1=1\) te verwijzen; dan wordt \(\beta_1=\mu_1-\mu_0\)
onafhankelijk en identiek verdeeld (i.i.d., independent and identically distributed)
Onder \(H_1\) bestaat er dus minimum 1 dummy-variabele in het model waarvoor de overeenkomstige parameter \(\beta_k\) verschillend is van nul onder de alternatieve hypothese
maar enkel van de data in de twee groepen die getest worden
De nulhypothese onterecht verwerpen
theoretisch moet dit \(5\%\) zijn, maar we tonen “slechts” het resultaat gebaseerd op 10000 simulaties
in ons geval de t-test statistiek door de originele reponses te gebruiken die nu gekoppeld worden aan de gepermuteerde groepslabels \(G_g^*\)
in de afwezigheid van ties
we veronderstellen afwezigheid van ties
Het berekenen van een BI op deze kansen valt buiten het bestek van de cursus
Wees voorzichtig als je een binomiaalcoëfficient met een zakrekenmachine berekent. Teller en noemer kunnen snel zeer groot worden. Om (afrondings)fouten te vermijden moet men de uitdrukking eerst zoveel mogelijk vereenvoudigen.
Indien de partnerkeuze niet geassocieerd zou zijn van de omgeving, verwachten we dat deze kansen (\(\pi_1\) en \(\pi_2\)) gelijk zijn op populatieniveau. Als we een associatie verwachten, met name partnerkeuze wordt beïnvloed door omgeving, dan zouden we verwachten dat vele hamsters zouden “switchen” van partnervoorkeur als ze uit een andere omgeving komen. De observaties waarbij geswitch wordt van partner worden discordante paren genoemd
Inderdaad, vermits de variantie onder de nulhypothese exact gekend is, moet er geen correctie worden uitgevoerd voor het schatten van de variantie en kunnen we de z-test gebruiken.
heterozygoot Pro/Leu of homozygoot Pro/Pro
Indien de ene kwalitatieve variabele 2 waarden aanneemt, bvb, succes of faling, dan kan deze toets gebruikt worden om na te gaan of de kans op succes verschilt tussen strata van de andere kwalitatieve