In de statistiek is de mean squared error (MSE) een belangrijke maat voor het verschil tussen een voorspelling en de realiteit.
De mean squared error \(\text{MSE}\) wordt gedefinieerd als:
\[\text{MSE} = \dfrac{1}{n} \sum_{i=1}^n (y_i - \hat y_i)^2\]
Hierbij stelt \(y_i\) de echte waarde voor en \(\hat y_i\) de voorspelde waarde.
Stel dat een fysicus een experiment uitvoert waarbij de lengte (in mm) van een aluminium staaf bepaald wordt bij verschillende temperaturen (in °C). Onderstaande tabel bevat de meetresultaten:
| temperatuur \(x_i\) | lengte \(y_i\) |
|---|---|
| 20 | 1 000,02 |
| 60 | 1 000,96 |
| 100 | 1 001,82 |
| 120 | 1 002,75 |
Met behulp van deze gegevens kan de fysicus een regressieanalyse (best passende grafiek zoeken) uitvoeren en wordt een verband tussen temperatuur en lengte gevonden, bijvoorbeeld de volgende formule (bij lineaire regressie)
\[\hat y_i = 0,026\cdot x_i + 999,44\]Op deze manier kan de lengte ook voorspeld worden voor temperaturen die niet gemeten werden, zoals bijvoorbeeld 50°C. Maar ook voor de gemeten (echte) waarden zal de voorspelling niet exact overeenkomen, het blijft immers een voorspelling.
| temperatuur \(x_i\) | lengte \(y_i\) | voorspelde lengte \(\hat y_i\) |
|---|---|---|
| 20 | 1 000,02 | 999,96 |
| 60 | 1 000,96 | 1 001,00 |
| 100 | 1 001,82 | 1 002,04 |
| 120 | 1 002,75 | 1 002,56 |
Het gemiddelde kwadratische verschil tussen \(\hat y_i\) en \(y_i\) noemt men de mean squared error.
Programmeer de functie mse() die gegeven twee vectoren echt en voorspelling als parameters de mean squared error berekent.
Rond deze af op 3 cijfers na de komma.
Stel dat echt gelijk is aan de vector c(1000.02, 1000.96, 1001.82, 1002.75) en voorspelling aan c(999.96, 1001.00, 1002.04, 1002.56), dan verschijnt er:
> mse(echt, voorspelling)
[1] 0.022
Een waarde van 0.022 is klein, dat betekent dat er een goede voorspelling werd gemaakt.
Geldt er nu dat echt gelijk is aan c(1000.02, 1000.96, 1001.82, 1002.75) en voorspelling aan c(950.34, 987.15, 1011.71, 1034.18), dan verschijnt er:
> mse(echt, voorspelling)
[1] 936.119
De waarde 936.199 is veel groter, dit betekent dat de voorspelling veel slechter is.