Inleiding

We gaan nog even verder met numerieke wiskunde, een ideale toepassing om je verder te bekwamen in lussen en functies.

We gaan opnieuw doel een n-de machtswortel berekenen. Net als vorige week gaan we dus de veeltermvergelijking \(f(x)\) = x**n - c = 0 oplossen. Alleen gaan we deze keer een efficiënter algoritme gebruiken.

De methode van Newton-Raphson heeft een startwaarde (\(x_0\)) nodig voor het gezochte nulpunt (\(x_r\)). We nemen aan dat \(x_0\) in de buurt ligt van \(x_r\). Tenzij je extreem veel geluk hebt, is \(x_0\) geen oplossing van onze vergelijking. We willen nu een \(x_1\) vinden die een betere schatting is voor \(x_r\) dan de oorspronkelijke \(x_O\). We doen dat door \(f(x)\) rond \(x_0\) te benaderen door de raaklijn aan \(f(x)\) in \(x_0\). Deze raaklijn snijdt de x-as in \(x_1\). Zoals je grafisch kan inzien, ligt \(x_1\) dichter bij \(x_r\) dan \(x_0\).

Je blijft deze methode toepassen tot je een x gevonden hebt waarvoor \(f(x)\) in absolute waarde kleiner is dan een waarde \(e\) (die we de toleratie noemen), met \(e\) een heel klein getal. Pas als dat het geval is, mag de lus onderbroken worden. De waarde van \(x\) op dat moment is dan een benadering voor de gezochte n-de machtswortel van \(c\).

Opgave

  1. Gebruik je wiskundige kennis om een formule te vinden voor \(x_1\) in functie van \(x_0\).

Let op: je mag in deze opgave géén hoofdprogramma schrijven! Dus er mag géén input() of print() in de code staan die je evalueert.

  1. Schrijf een functie f(x, n, c) die de functiewaarde van \(f(x)\) = x**n - c teruggeeft. Probeer Voorbeeld 1 te begrijpen.

  2. Schrijf een functie afgeleide(x, n, c) die de \(f'(x_0)\) teruggeeft (met \(f(x)\) = x**n - c). Probeer Voorbeeld 2 te begrijpen.

  3. Schrijf een functie nulpunt_raaklijn(x, n, c) die de x-coördinaat van het snijpunt geeft van de raaklijn aan de grafiek van \(f(x)\) = x**n - c voor \(x=x_0\). Maak maximaal gebruik van functies die je al gedefinieerd hebt. Probeer Voorbeeld 3 te begrijpen.

  4. Schrijf een functie n_de_machtswortel_Newton(n, c, x_0, e) die de vergelijking \(f(x) = 0\) oplost via de methode van Newton-Raphson, met een startwaarde \(x_O\) en een tolerantie \(e\). Probeer Voorbeeld 4 te begrijpen: we lossen de vergelijking x**2 - 3 = 0 op door de bisectiemethode toe te passen met een startwaarde van 5. De tolerantie is 1e-15.

Voorbeeld 1

Invoer:

> f(5, 2, 3)

Uitvoer:

22

Voorbeeld 2

Invoer:

> afgeleide(5, 2, 3)

Uitvoer:

10

Voorbeeld 3

Invoer:

> nulpunt_raaklijn(5, 2, 3)

Uitvoer:

2.8

Voorbeeld 4

Invoer:

> n_de_machtswortel_Newton(2, 3, 5, 1e-15)

Uitvoer:

1.7320508075688774