Trilateratie is het bepalen van de (relatieve) positie van een punt aan de hand van de afstanden van dit punt tot enkele gekende punten. Hierbij wordt gesteund op de meetkundige eigenschappen van cirkels. In tegenstelling tot triangulatie worden er bij trilateratie geen hoeken gemeten. Deze techniek heeft enkele zeer praktische toepassingen zoals het GPS-systeem, het bepalen van het epicentrum van een aardbeving, …

Het punt waar de drie cirkels elkaar snijden is het epicentrum van de aardbeving. Deze techniek word trilateratie genoemd.

Om bijvoorbeeld het epicentrum van een aardbeving te bepalen, kan je als volgt te werk gaan. Je bepaalt voor verschillende meetstation de tijd tussen de eerste P-golf en de eerste S-golf. Aan de hand van gekende tabellen kan je hieruit de afstand van het epicentrum tot het meetstation bepalen. Zo zie je op onderstaande afbeelding dat een verschil van 24 seconden tussen de eerste P-golf en de eerste S-golf correspondeert met een epicentrum op een afstand van 215 km. Dit geeft je dus een cirkel waarop het epicentrum kan liggen. Als je meerdere meetpunten hebt, dan wordt het epicentrum gegeven door het snijpunt van de verschillende cirkels. In werkelijkheid zal hier steeds een meetfout op zitten en zal je nooit echt een mooi snijpunt vinden, maar eerder een gebied van mogelijkheden.

De amplitude wordt gebruikt om de sterkte van een aardbeving te bepalen, en de afstand van het waarnemingsstation tot het epicentrum.

Opgave

Een belangrijk onderdeel van trilateratie is het bepalen van de onderlinge positie van twee cirkels. Hieronder zie je een overzicht van de mogelijke onderlinge posities van twee cirkels. In deze tabel staat $$d$$ voor de afstand tussen de middelpunten van de twee cirkels en $$r_1$$ (respectievelijk $$r_2$$) voor de straal van de eerste (respectievelijk de tweede) cirkel.

positie	voorwaarde
concentrisch	$$d = 0$$
binnen rakend	$$d = \|r_1 - r_2\|$$
buiten rakend	$$d = r_1 + r_2$$
omsluitend	$$d < \|r_1 - r_2\|$$
snijdend	$$\|r_1 - r_2\| < d < r_1 + r_2$$
gescheiden	$$d > r_1 + r_2$$

De afstand $$d$$ tussen twee punten $$(x_1,y_1)$$ en $$(x_2,y_2)$$ wordt hierbij berekend aan de hand van de volgende formule:

$$d = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}$$

Waarschuwing

Als je met reële getallen werkt op een computer, dan treden er al snel afrondingsfouten op. Hierdoor zullen twee getallen die gelijk zouden moeten zijn, vaak net niet gelijk zijn. Daarom gebruiken we een foutmarge bij het vergelijken van twee reële getallen: we zeggen dan bijvoorbeeld dat twee reële getallen gelijk zijn, als het verschil tussen deze twee getallen kleiner is dan $$10^{-6}$$.

Invoer

Zes reële getallen: één getal per regel. De eerste drie getallen zijn respectievelijk de $$x$$-coördinaat, de $$y$$-coördinaat en de straal van een eerste cirkel. De laatste drie getallen zijn respectievelijk de $$x$$-coördinaat, de $$y$$-coördinaat en de straal van een tweede cirkel.

Uitvoer

Een regel die één van de volgende termen bevat:

concentrisch
binnen rakend
buiten rakend
omsluitend
snijdend
gescheiden

De term die moet uitgeschreven worden, moet de onderlinge positie van de twee gegeven cirkels aanduiden.

Voorbeeld

Invoer:

3.5
2.7
7.86
6.5
6.7
2.86

Uitvoer:

binnen rakend

Op onderstaande grafische voorstelling van de twee gegeven cirkels zie je duidelijk dat ze elkaar van binnen raken. De eerste cirkel wordt in het oranje weergegeven, en de tweede cirkel in het paars.