Het spiegelgetal $$\overset\leftrightarrow{n}$$ van een getal $$n \in \mathbb{N}$$ bekom je door de cijfers van $$n$$ in omgekeerde volgorde te zetten. Het getal 1234 heeft bijvoorbeeld 4321 als spiegelgetal.

De $$i$$-reductie $$n_i$$ ($$i = 0, 1, \ldots, m - 1$$) van een getal $$n \in \mathbb{N}$$ ($$n \geq 10$$) met $$m$$ cijfers ($$m \geq 2$$) bekom je door het $$i$$-de cijfer van $$n$$ te schrappen. Daarbij worden de cijfers van een getal van links naar rechts genummerd vanaf 0. Het getal 12345 heeft bijvoorbeeld 1245 als 2-reductie.

De catch $$\mathcal{C}(n)$$ van een getal $$n \in \mathbb{N}$$ ($$n \geq 10$$) met $$m$$ cijfers ($$m \geq 2$$) wordt berekend door alle $$i$$-reducties $$n_i$$ en alle spiegelgetallen $$\overset\leftrightarrow{n_i}$$ van de $$i$$-reducties ($$i = 0, 1, \ldots, m - 1$$) bij elkaar op te tellen, en dit resultaat te delen door de som van de $$m$$ cijfers van $$n$$. De catch van het getal 27847 is bijvoorbeeld \[ \mathcal{C}(27847) = \frac{54197}{28} = 1935.607142857143 \] De teller van deze breuk wordt als volgt berekend:

Opgave

• Schrijf een functie spiegelgetal waaraan een getal $$n \in \mathbb{N}$$ (int) moet doorgegeven worden. De functie moet het spiegelgetal $$\overset\leftrightarrow{n}$$ (int) teruggeven.

• Schrijf een functie reductie waaraan twee argumenten moeten doorgegeven worden: i) een getal $$n \in \mathbb{N}$$ (int; $$n \geq 10$$) met $$m$$ cijfers ($$m \geq 2$$) en ii) de positie $$i$$ (int; $$0 \leq i < m$$) van een cijfer in getal $$n$$. De functie moet de $$i$$-reductie $$n_i$$ teruggeven.

• Schrijf een functie teller waaraan een getal $$n \in \mathbb{N}$$ (int; $$n \geq 10$$) met $$m$$ cijfers ($$m \geq 2$$) moet doorgegeven worden. De functie moet de teller (int) teruggeven uit de breuk die de catch $$\mathcal{C}(n)$$ berekent: de som van alle $$i$$-reducties $$n_i$$ en van alle spiegelgetallen $$\overset\leftrightarrow{n_i}$$ van de $$i$$-reducties voor $$i = 0, 1, \ldots, m - 1$$.

• Schrijf een functie noemer waaraan een getal $$n \in \mathbb{N}$$ (int; $$n \geq 10$$) met $$m$$ cijfers ($$m \geq 2$$) moet doorgegeven worden. De functie moet de noemer (int) teruggeven uit de breuk die de catch $$\mathcal{C}(n)$$ berekent: de som van de $$m$$ cijfers van $$n$$.

• Schrijf een functie catch waaraan een getal $$n \in \mathbb{N}$$ (int; $$n \geq 10$$) met $$m$$ cijfers ($$m \geq 2$$) moet doorgegeven worden. De functie moet de catch $$\mathcal{C}(n)$$ (float) teruggeven.

Voorbeeld

>>> spiegelgetal(7847)
7487
>>> spiegelgetal(37865)
56873

>>> reductie(27847, 0)
7847
>>> reductie(27847, 1)
2847
>>> reductie(27847, 2)
2747

>>> teller(27847)
54197
>>> teller(937865)
865739

>>> noemer(27847)
28
>>> noemer(937865)
38

>>> catch(27847)
1935.607142857143
>>> catch(937865)
22782.605263157893

Epiloog

Kies een getal met drie cijfers waarvan alle cijfers verschillend zijn, bijvoorbeeld: 314. Maak een lijst van elke mogelijke combinatie van twee cijfers uit het gekozen getal. In ons voorbeeld zijn dat 13, 14, 31, 34, 41 en 43. Deel de som van deze getallen van twee cijfers door de som van de drie cijfers van het oorspronkelijke getal. Merk op dat dit voor een getal $$n$$ van drie cijfers dezelfde berekening is als voor de catch $$\mathcal{C}(n)$$. Welk getal van drie cijfers je ook kiest, de catch is altijd 22. In ons voorbeeld: \[ \mathcal{C}(314) = \frac{13 + 14 + 31 + 34 + 41 + 43}{3 + 1 + 4} = \frac{176}{8} = 22 \] Dit werkt omdat voor een getal $$abc$$ van drie cijfers $$10a + b$$, $$10a + c$$, $$10b + a$$, $$10b + c$$, $$10c + a$$ en $$10c + b$$ bij elkaar opgeteld $$22a + 22b + 22c = 22(a + b + c)$$, dus delen door $$a + b + c$$ geeft altijd 22.

Een catch-22 is een paradoxale situatie waarin het onmogelijk is om een gewenste uitkomst te bereiken doordat de "regels" dat vanwege tegenstrijdigheden niet toelaten. De term is afkomstig uit de roman Catch-22¹ van Joseph Heller² (1961), waarin een algemene situatie wordt beschreven waarin een individu twee acties dient te verwezenlijken die wederzijds afhankelijk zijn van de andere actie die eerst voltooid moet worden.

Een voorbeeld van deze situatie doet zich voor bij het zoeken van een job. Een catch-22 ontstaat als men zonder werkervaring geen job kan krijgen, maar men zonder job geen werkervaring kan opdoen. In het Nederlands noemen we dit ook een kip-en-eiprobleem³. Een catch-22 lijkt op een vicieuze cirkel. Bij een catch-22 is er echter sprake van een voortduren van de status quo, terwijl een vicieuze cirkel doorgaans tot verslechtering leidt.