Vis viva (Latijn voor levende kracht) is een achterhaalde wetenschappelijke theorie die kan beschouwd worden als voorloper van de wet van behoud van energie¹. Ze gaf voor het eerst een beschrijving van de kinetische energie², waarbij de levende kracht verwijst naar alle kinetische energie in een geïsoleerd systeem³.

Vandaag de dag is vis viva opgenomen en vervangen door de moderne theorie van energie. In de sterrenkunde leeft de naam echter nog voort in de vis-vivavergelijking: volgens de klassieke (Newtoniaanse) hemelmechanica draaien satellieten in een ellipsvormige baan rond de Aarde.

Satellieten draaien in een ellipsvormige baan rond de Aarde.

De vis-vivavergelijking legt een verband tussen de grote as $$a$$ van de ellipsvormige baan, de afstand $$r$$ van de satelliet tot het middelpunt van de Aarde en de snelheid $$v$$ van de satelliet ten opzichte van de Aarde: \[ v^2 = \mu \left( \frac{2}{r} - \frac{1}{a} \right) \] De constante $$\mu$$ is de geocentrische gravitatieconstante⁴. Een benadering van deze constante kan berekend worden als het product van de gravitatieconstante⁵ $$G$$ en de massa $$M$$ van de Aarde uitgedrukt in kilogram: \[ \mu = G \cdot M \] Er bestaan echter alternatieve methoden om de waarde van $$\mu$$ nauwkeuriger te meten. In deze opgave gebruiken we de volgende nauwkeurige meetwaarde: \[ \mu = 398600{,}4418 \cdot 10^9\,m^3s^{-2}\] Als de lengte van de grote as $$a$$ van een elliptische baan gekend is dan kan daarmee de periode $$p$$ van de satelliet bepaald worden (uitgedrukt in seconden): \[ p = 2\pi \sqrt{\frac{a^3}{\mu}}\] De periode $$p$$ is de tijd die de satelliet nodig heeft om één omwenteling rond de Aarde te maken.

Gegevens waarmee de periode van een satelliet kan berekend worden: $$r$$ is de afstand tussen de satelliet en het middelpunt van de Aarde, $$a$$ is de lengte van de grote as van de elliptische baan en $$v$$ is de snelheid van de satelliet ten opzichte van de Aarde.

Invoer

Twee reële getallen die elk op een afzonderlijke regel staan:

de afstand $$r$$ tussen een satelliet en het middelpunt van de Aarde (uitgedrukt in meter)
de snelheid $$v$$ van de satelliet ten opzichte van de Aarde (uitgedrukt in meter/seconde)

Uitvoer

Met deze gegevens kan de lengte $$a$$ (in meter) berekend worden van de grote as van de elliptische baan waarin de satelliet rond de Aarde draait. Hiervoor kan de vis-vivavergelijking herschreven worden als: \[ a = \frac{\mu r}{2\mu - r v^2} \] De periode $$p$$ van de satelliet (uitgedrukt in seconden) wordt dan bekomen als \[ 2\pi \sqrt{\frac{a^3}{\mu}} \]

Er moeten drie regels uitgeschreven worden:

de lengte van de grote as $$a$$, uitgedrukt in meter
de lengte van de periode $$p$$, uitgedrukt in seconden
de lengte van de periode $$p$$, uitgedrukt in een geheel aantal dagen $$d$$, uren $$u$$ en minuten $$m$$ die volledig binnen de periode passen; hierbij moet gelden dat $$0 \leq u < 24$$ en dat $$0 \leq m < 60$$

Bekijk onderstaande voorbeelden om te achterhalen hoe de uitvoer precies moet uitgeschreven worden.

Voorbeeld

Satelliet: het internationaal ruimtestation ISS⁶

Invoer:

6792000
7658

Uitvoer:

grote as: 6787166.808499204 meter
periode: 5564.7257424392155 seconden
periode: 0 dagen, 1 uren en 32 minuten

Voorbeeld

Satelliet: ASTRA 1L⁷, een geostationaire satelliet die onder andere BVN⁸ uitzendt

Invoer:

35785400
3580.9

Uitvoer:

grote as: 42160215.133579694 meter
periode: 86151.96905571753 seconden
periode: 0 dagen, 23 uren en 55 minuten

Voorbeeld

Satelliet: PROBA-2⁹

Invoer:

7104000
7485

Uitvoer:

grote as: 7093371.63898765 meter
periode: 5945.52283951033 seconden
periode: 0 dagen, 1 uren en 39 minuten

Voorbeeld

Satelliet: de Maan¹⁰

Invoer:

400000000
977.75

Uitvoer:

grote as: 384375790.60599077 meter
periode: 2371619.541180138 seconden
periode: 27 dagen, 10 uren en 46 minuten