De legendarische baseballspeler Babe Ruth¹ sloeg in zijn hele carrière een nooit gezien aantal van 714 homeruns. Dat record bleef standhouden tot 8 April 1974, toen Hank Aaron² 715-de homerun van zijn carrière sloeg. Carl Pomerance — wiskundige aan de Universiteit van Georgia op het ogenblik dat Aaron het record van Ruth verbrak — baseerde zich op die gebeurtenis om een nieuw concept te introduceren in de wiskunde. Een student van een collega had immers opgemerkt dat de som van de priemfactoren van 714 en 715 gelijk is. Daarop definieerde Pomerance een Ruth-Aaron paar als een paar opeenvolgende natuurlijke getallen $(n,n+1)$ (zoals 714 en 715) waarvoor de som van de priemfactoren gelijk is.

Elk natuurlijk getal $n\in {\mathbb{N}}_{\mathbb{0}}$ kan geschreven worden als een product van priemgetallen. $$\begin{array}{rcl}10& =& 2\times 5\\ 12& =& 2\times 2\times 3\\ 13& =& 13\\ 100& =& 2\times 2\times 5\times 5\end{array}$$ Deze zogenaamde ontbinding in priemfactoren is uniek³, afgezien van de volgorde van de priemfactoren. Het paar $(714,715)$ is een Ruth-Aaron paar omdat $$\begin{array}{rcl}714& =& 2\times 3\times 7\times 17\\ 715& =& 5\times 11\times 13\end{array}$$ en $2+3+7+17=29=5+11+13$. Het paar $(9,10)$ is geen Ruth-Aaron paar omdat $2+5\ne 3+3$.

Opgave

• Schrijf een functie isPriem waaraan een getal $n\in {\mathbb{N}}_{\mathbb{0}}$ moet doorgegeven worden. De functie moet een Booleaanse waarde teruggeven die aangeeft of $n$ al dan niet een priemgetal is.

• Schrijf een functie priemfactoren waaraan een getal $n\in {\mathbb{N}}_{\mathbb{0}}$ moet doorgegeven worden. De functie moet een lijst met priemfactoren van $n$ teruggeven, waarbij de priemfactoren in oplopende volgorde gesorteerd staan.

• Schrijf een functie isRuthAaron waaraan twee getallen $m,n\in {\mathbb{N}}_{\mathbb{0}}$ moeten doorgegeven worden. De functie moet een Booleaanse waarde teruggeven die aangeeft of het paar $(m,n)$ al dan niet een Ruth-Aaron paar is. Merk op dat $(m,n)$ enkel een Ruth-Aaron paar kan zijn als het getal $n$ onmiddellijk volgt op het getal $m$. Het paar $(714,715)$ is een Ruth-Aaron paar, maar het paar $(715,714)$ is dat niet.

Voorbeeld

                
            >>> isPriem(2)
True
>>> isPriem(6)
False
>>> isPriem(12)
False

>>> priemfactoren(12)
[2, 2, 3]
>>> priemfactoren(17)
[17]
>>> priemfactoren(18)
[2, 3, 3]

>>> isRuthAaron(5, 6)
True
>>> isRuthAaron(10, 11)
False
>>> isRuthAaron(15, 16)
True
>>> isRuthAaron(8281, 8280)
False

Bronnen

• Babai L, Pomerance C, Vértesi P (1998). The Mathematics of Paul Erdos. Notices Amer. Math. Soc. 45, 19-23. ⁴

• Drost JL (1997). Ruth/Aaron Pairs. J. Recr. Math. 28(2), 120-122.

• Erdos P, Pomerance C (1978). On the Largest Prime Factors of $n$ and $n+1$. Aeq. Math. 17, 311-321. ⁵

• Hoffman P (1998). The Man Who Loved Only Numbers: The Story of Paul Erdos and the Search for Mathematical Truth. New York: Hyperion. ⁶

• Mackenzie D (1997). Mathematics: Homage to an Itinerant Master. Science 275, 759. ⁷

• Nelson C, Penney DE, Pomerance C (1974). 714 and 715. J. Recr. Math. 7, 87-89. ⁸

• Peterson I (2005). MathTrek: Playing with Ruth-Aaron Pairs. Sci. News 168, 2005. ⁹

• Pomerance C (2002). Ruth-Aaron Numbers Revisited. In Paul Erdos and his Mathematics. I. Papers from the Conference Held in Budapest, July 4-11, 1999 (Ed. G. Halász, L. Lovász, M. Simonovits, and V. T. Sós). Berlin: Springer-Verlag, 567-579.