Toen Nathaniel Hawthorne in 1853 het Engelse schiereiland Wirral bezocht, botste hij in de stad Bebington op een vreemd huis met kantelen waarover hij in zijn aantekeningen¹ schreef

… een redelijk nieuw symbool van verval en verwaarlozing …

… vermoedelijk de gril van een halvegare.

In de muur aan de straatkant waren stenen platen aangebracht met raadselachtige inscripties die kant noch wal raakten.

De halvegare was inwoner Thomas Francis, die de inscripties had aangebracht tot vermaak en amusement van de voorbijgangers.

Het ging om drie raadsels, waarvan het middelste leest als

Subtract 45 From 45 That 45 May Remain.
(Trek 45 af van 45, zodat er 45 overblijven.)

Dit lijkt te verwijzen naar deze wiskundige curiositeit:

  987654321
- 123456789
-----------
  864197532

Elk van deze getallen is een permutatie van de cijfers 1 tot en met 9. De som van hun cijfers is dus telkens gelijk aan 45.

Het huis werd in de jaren zestig gesloopt, maar de raadelachtige stenen kan je nog altijd bezichtigen in de inkomhal van de bibliotheek in het Civic Medical Centre² van Bebington.

Opgave

Voor een getal $$n \in \mathbb{N}_0$$ heeft het raadsel

Trek $$n$$ af van $$n$$, zodat er $$n$$ overblijven.

heel wat verschillende oplossingen, als we geen rekening houden met de voorwaarde dat de getallen permutaties moeten zijn van de cijfers 1 tot en met 9. Er zijn immers meerdere getallen $$i, j \in \mathbb{N_0}$$ ($$i > j$$) te vinden waarvoor de som van de cijfers van elk van de drie getallen $$i$$, $$j$$ en $$i - j$$ gelijk is aan $$n$$.

Gevraagd wordt:

• Schrijf een functie cijfersom waaraan een getal $$i \in \mathbb{N}_0$$ (int) moet doorgegeven worden. De functie moet de som (int) van de cijfers van $$i$$ teruggeven. We noemen dit resultaat de cijfersom van $$i$$.

• Schrijf een functie isoplossing waaraan twee getallen $$i, j \in \mathbb{N}_0$$ moeten doorgegeven worden. De functie mag ervan uitgaan dat $$i > j$$, zonder dat dit expliciet moet gecontroleerd worden. De functie moet een Booleaanse waarde (bool) teruggeven die aangeeft of de drie getallen $$i$$, $$j$$ en $$i - j$$ allemaal dezelfde cijfersom hebben. Als dat laatste het geval is dan zeggen we dat het paar getallen $$i$$ en $$j$$ een oplossing is van het middelste raadsel van Bebington.

• Schrijf een functie oplossingen waaraan twee getallen $$a, b \in \mathbb{N}_0$$ moeten doorgegeven worden. De functie mag ervan uitgaan dat $$a < b$$, zonder dat dit expliciet moet gecontroleerd worden. De functie moet teruggeven hoeveel verschillende oplossingen (int) het middelste raadsel van Bebington heeft waarvoor de getallen $$i$$ en $$j$$ in het interval $$[a, b]$$ liggen ($$a \leq j < i \leq b$$).

Voorbeeld

>>> cijfersom(987654321)
45
>>> cijfersom(123456789)
45
>>> cijfersom(864197532)
45

>>> isoplossing(987654321, 123456789)
True
>>> isoplossing(93243, 58134)
False

>>> oplossingen(1000, 2000)
1311
>>> oplossingen(2000, 3000)
1202
>>> oplossingen(3000, 4000)
1128

Epiloog

De eerste steen op het huis van Thomas Francis bevat een beeldtenis van herberg The Two Crowns en het volgende raadsel:

My name And sign is thirty Shillings just, and he that will tell My Name Shall have a Quart on trust, for why is not Five the Fourth Part of Twenty the Same in All Cases?

Mijn naam en teken zijn juist dertig shilling, en hij die mijn naam zegt, zal een kwart in vertrouwen krijgen, want waarom is vijf — het vierde deel van twintig — niet in alle gevallen hetzelfde?

De oplossing was gemakkelijker te raden in de tijd waarin de inscriptie gemaakt werd. De toenmalige eigenaar van The Two Crowns was Mark Noble. De oude Engelse munt die bekend stond als de noble was 6 shilling en 8 pence waard, de mark was 13 shilling en vier 4 pence waard, en twee kronen waren samen 10 shilling waard. Samen bedragen deze waarden 30 shilling (een shilling was 12 pence waard).

Het laatste raadsel was het gemakkelijkste:

  AR
    UBB
I
  NGS
TONEF
  ORAS
 SE
S

Als je dit allemaal achter elkaar leest dan krijg je A RUBBING STONE FOR ASSES (EEN WRIJFSTEEN VOOR EZELS) — vermoedelijk een verborgen sneer van Francis aan het adres van de hangjongeren die zich voor zijn huis verzamelden.