Inleiding

Je hebt bij wiskunde geleerd dat je een bepaalde integraal kunt beschouwen als de som van een oneindig aantal termen. De Duitse wiskundige Bernhard Riemann (1826-1866) bedacht immers de volgende methode om een benadering te vinden voor de (georiënteerde) oppervlakte onder de grafiek van \(f(x)\) in het interval \([a,b]\):

1. verdeel het interval \([a,b]\) in \(n\) gelijke deelintervallen met breedte \(\Delta x\);
2. kies een willekeurige waarde \(x_{i}\) in het \(i\)-de deelinterval;
3. bereken de functiewaarde \(f(x_{i})\);
4. \(\displaystyle \sum _{i=1}^{n}f(x_{i}) \cdot \Delta x \, = f(x_1) \cdot \Delta x \, + \, f(x_2) \cdot \Delta x \, + \, ... \, + \, f(x_n) \cdot \Delta x \,\) is dan een benadering voor de exacte oppervlakte \(\displaystyle \int _{a}^{b} f(x) \, dx\).

Opgave

1. Schrijf een functie Delta_x(a, b, n) die de breedte \(\Delta x\) van elk deelinterval berekent wanneer je \([a,b]\) verdeelt in \(n\) gelijke deelintervallen.
2. Schrijf een functie x_i(x1, x2, type) die een waarde teruggeeft in het deelinterval \([x_1, x_2]\):
   • als type gelijk is aan 'LINKS', geeft de functie de waarde van x1 terug;
   • als type gelijk is aan 'MIDDEN', geeft de functie het midden van \([x_1, x_2]\) terug;
   • als type gelijk is aan 'RECHTS', geeft de functie de waarde van x2 terug.
3. We maken in deze opgave gebruik van \(f(x) = \sin x\). Schrijf een functie f(x) die de waarde van \(\sin(x)\) teruggeeft.
4. Schrijf een functie Riemannsom(a, b, n, type) die de waarde van \(\displaystyle \sum _{i=1}^{n}f(x_{i}) \cdot \Delta x \,\) teruggeeft, waarbij \(\Delta x\) en \(x_i\) berekend worden zoals hierboven beschreven. Uiteraard steun je in deze definitie zo veel mogelijk op de functies die je in 1, 2 en 3 al gedefinieerd hebt.

Zoals steeds in dit soort opgaves mag er in de code die je door Dodona laat evalueren geen hoofdprogramma staan. Je code bestaat dus uit vier functiedefinities, en niet meer dan dat. Een eventueel hoofdprogramma dat je gebruikt hebt om je code te testen, moet je bij de evaluatie dus in commentaar zetten, of zelfs gewoon verwijderen.

Voorbeeld 1

Invoer:

>>> Delta_x(0, 1, 1000)

Uitvoer:

0.001

Voorbeeld 2

Invoer:

>>> x_i(0, 0.001, 'LINKS')

Uitvoer:

0

Voorbeeld 3

Invoer:

>>> x_i(0, 0.001, 'MIDDEN')

Uitvoer:

0.0005

Voorbeeld 4

Invoer:

>>> x_i(0, 0.001, 'RECHTS')

Uitvoer:

0.001

Voorbeeld 5

Invoer:

>>> f(1.5707963267948966)

Uitvoer:

1.0

Voorbeeld 6

Invoer:

>>> Riemannsom(0, 1.0471975511965976, 1000, 'MIDDEN')

Uitvoer:

0.5000000228463071

Voorbeeld 7

Invoer:

>>> Riemannsom(0, 3.141592653589793, 1000000, 'LINKS')

Uitvoer:

1.9999999999983495