In de wetenschappen spreekt men van een open probleem of een open vraag als een probleem nauwkeurig kan omschreven worden, algemeen wordt aangenomen dat er een objectieve en makkelijk te controleren oplossing voor bestaat, zonder dat die oplossing tot op heden gekend is. In alle wetenschappelijke disciplines bestaan er belangrijke open problemen. Zo is het voorspellen van eiwitstructuur1 één van de belangrijkste open problemen in de biochemie — hoe kan je de structuur van eiwit voorspellen op basis van zijn aminozuursequentie. Op Wikipedia vind je lange lijsten van open problemen in de artificiële intelligentie2, biologie3, chemie4, economie5, fysica6, geneeskunde7, geowetenschappen8, informatica9, statistiek10, taalkunde11 en de wiskunde12.

protein structure
De aminozuursequentie van een eiwit kan geanalyseerd worden om de secundaire, tertiaire en quaternaire eiwitstructuur te voorspellen.

Een open probleem in de wiskunde wordt in die context vaak ook een vermoeden genoemd. In dat gaat het om een wiskundige uitspraak waarvan wiskundigen denken dat deze waar is, terwijl er nog geen sluitend bewijs voor gevonden is. Wordt het bewijs geleverd, dan spreekt men van een stelling. Sommige stellingen kunnen jarenlang vermoedens blijven. Het bekendste geval en één van de extreemste, was de laatste stelling van Fermat13 die van 1637 tot 1995 onbewezen bleef.

Eén van die vermoedens dat nog altijd niet opgelost is, is het vermoeden van Erdõs-Straus. Dit vermoeden stelt dat er voor elke natuurlijk getal $$n \geq 2$$ drie natuurlijke getallen $$x, y, z \in \mathbb{N}_0$$ kunnen gevonden worden waarvoor geldt dat \[\frac{4}{n} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}\] of met andere woorden dat je 4 gedeeld door elk natuurlijk getal (groter dan of gelijk aan twee) altijd kunt schrijven als de som van drie stambreuken14. Voor $$n = 5$$ zijn er bijvoorbeeld twee oplossingen: \[\frac{4}{5} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{20} = \frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{10}\] Als je beide leden van de vergelijking vermenigvuldigt met $$nxyz$$ dan bekom je de vergelijking \[4xyz = n(xy + yz + xz)\] Het voordeel van deze herschreven vergelijking is dat er geen reële delingen in voorkomen die bij computerberkeningen zorgen voor afrondingsfouten.

Een van de manieren om vermoedens uit de wiskunde te bewijzen of te ontkrachten, bestaat er botweg in om alle mogelijkheden uit te proberen totdat er een (tegen)voorbeeld gevonden wordt. Dit wordt de brute force (Engels voor "brute kracht") aanpak genoemd, die als laatste toevluchtsoord gebruikt wordt als er geen algoritme gekend is dat sneller of efficiënter tot een oplossing leidt. De brute force aanpak wordt bijvoorbeeld vaak gebruikt voor het kraken van wachtwoorden of het achterhalen van verloren gegane of vergeten wachtwoorden die versleuteld zijn met sterke encryptie. Hierbij worden alle mogelijke combinaties van beschikbare tekens geprobeerd. Dit is een zeer inefficiënte methode die extreem lang kan duren, maar ze is wel 100% trefzeker.

Invoer

De invoer bestaat uit drie getallen $$n, o, b \in \mathbb{N}_0$$, elk op een afzonderlijke regel.

Uitvoer

Voor elke combinatie van drie getallen $$x, y, z \in \mathbb{N}_0$$ waarvoor geldt dat $$o \leq x \leq y \leq z \leq b$$ en waarvoor geldt dat $$4xyz = n(yz + xz + xy)$$ moet er een regel uitgeschreven worden van de vorm 4/$$n$$ = 1/$$x$$ + 1/$$y$$ + 1/$$z$$. De combinaties $$x, y, z$$ moeten in oplopende volgorde uitgeschreven worden, eerst oplopend volgens $$x$$, dan oplopend volgens $$y$$ en ten slotte oplopend volgens $$z$$.

Tip: Om alle geldige combinaties van $$x, y, z$$ te vinden kan je de brute force aanpak gebruiken, waarbij je achtereenvolgens alle mogelijke combinaties van $$x, y, z$$ uitprobeert.

Voorbeeld

Invoer:

3
1
12

Uitvoer:

4/3 = 1/1 + 1/4 + 1/12
4/3 = 1/1 + 1/6 + 1/6
4/3 = 1/2 + 1/2 + 1/3

Bronnen