Het was het wiskundige genie Leonard Euler1 die in 1734 het beroemde Bazel-probleem oplostte.
Dit probleem behandelde de oneindige som van inverse kwadraten, namelijk:
\[\sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n^2} = \dfrac{1}{1^2} + \dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{3^2} + \dfrac{1}{4^2} + \ldots = ?\]Men wist reeds dat dit convergeerde, maar het was Euler die bewees dat dit enigszins verassend convergeert naar \(\dfrac{\pi^2}{6}\)!
Gevraagd
Maak een functie bazel(aantal) waarbij aantal het aantal termen in de som voorstelt. Zo geldt dat bazel(10) overeenkomt met \(\displaystyle \sum_{n=1}^{10} \dfrac{1}{n^2}\).
-
Laat R het resultaat van de som afronden op 6 cijfers na de komma.
-
Je kan controleren of het resultaat inderdaad Eulers vondst benadert. Probeer bijvoorbeeld
bazel(10000)uit te rekenen en controleer of ditpi^2 / 6benadert.
Voorbeelden
De eerste 10 termen van de som optellen resulteert in:
> bazel(10)
[1] 1.549768
De eerste 100 termen van de som optellen resulteert in:
> bazel(100)
[1] 1.634984
Tips
- Een vector met de natuurlijke getallen van
1totaantalkan je gemakkelijk aanmaken via1:aantal.- Dit is geen oefening op het rekenkundig gemiddelde, maar je maakt natuurlijk wel gebruik van de
sum()functie.