Analoog aan de ontbinding van een reële functie in een Fourier-cosinus reeks, kan een
rij van reële getallen $$x$$ ontbonden worden in een stel basisvectoren, waarvan de componenten
van cosinusfuncties afkomstig zijn. Beschouw de reële $$N \times N$$ matrix $$C$$, gedefinieerd via:
$$
C_{nk} = \cos[k(n+\frac{1}{2})\frac{\pi}{N}]
$$
met $$k = 0 ... N-1$$, $$n = 0 ... N-1$$. De kolommen van deze matrix vormen de basisvectoren
waarin we een rijvector $$x$$, bestaande uit $$N$$ reële getallen, zullen ontbinden.
Beschouw de reële getallen $$X_k$$ gegeven door ($$0 \le k \lt N$$):
$$
X_k = \sum_{n=0}^{N-1} x_n \cos[k(n+\frac{1}{2})\frac{\pi}{N}]
$$
of in matrixgedaante (waarbij de rijvector $$X$$ de componenten $$X_k$$ bevat):
$$
X = x C
$$
Men kan aantonen dat (voor $$0 \le n \lt N$$) :
$$
x_n = \frac{X_0}{N} + \frac{2}{N}\sum_{k=1}^{N-1}X_k \cos[k(n+\frac{1}{2})\frac{\pi}{N}]
$$
De afbeelding die de vector $$x$$ afbeeldt op de vector $$X$$ wordt de "discrete cosinustransformatie"
genoemd, en wordt veel gebruikt bij het verwerken van geluiden en beelden. Bovenstaande uitdrukking
maakt het bovendien ook mogelijk om gegeven de vector $$X$$ het origineel $$x$$ terug te vinden
(en wordt dus de "inverse discrete cosinustransformatie" genoemd).
Schrijf de functie basisvectoren() met als enig argument een geheel getal $$N > 0$$.
Het resultaat is een NumPy-tabel met $$N$$ rijen en $$N$$ kolommen die de matrix $$C$$ (definitie
zie hoger) voorstelt, als resultaat oplevert.
Schrijf de functie dct_tf() met als enig argument een NumPy-rij met $$N$$
componenten. Het resultaat van de functie is het beeld van dit argument dat je bekomt via de
discrete cosinustransformatie. Het resultaat is een NumPy-rij bestaande uit $$N$$ componenten.
Schrijf de functie dct_itf() met twee argumenten, namelijk:
Bereken de inverse discrete cosinustransformatie van $$X$$ waarbij $$N$$ basisvectoren gebruikt worden, en waarbij je $$X_k = 0$$ neemt voor $$K \le k < N$$.
LET OP : het is NIET toegelaten om in deze oefening gebruik te maken van lijsten. De oplossing mag enkel gebruik maken van NumPy-rijen of tabellen.
Merk op dat je resultaat, ten behoeve van de evaluatie in Dodona, afgebroken wordt op 4 decimalen (de
functie format_p() en uit het format_l() verbeterscript zorgt hiervoor). Je resultaat wordt ook omgezet naar een lijst,
maar let erop dat het resultaat van je functie WEL DEGELIJK een NumPy-tabel MOET zijn.
print(basisvectoren(4)) #[[ 1. 0.92387953 0.70710678 0.38268343] # [ 1. 0.38268343 -0.70710678 -0.92387953] # [ 1. -0.38268343 -0.70710678 0.92387953] # [ 1. -0.92387953 0.70710678 -0.38268343]]Voor
x = [10 10 10 10 0 0 0 0 10 10 10 10 0 0 0 0]
tf = dct_tf(x) #[ 8.00000000e+01 2.11296494e+01 -4.44089210e-15 4.15835515e+01 # 1.06581410e-14 -2.56070245e+01 6.66133815e-16 -3.26464334e+00 # -7.10542736e-15 2.67922355e+00 -1.86517468e-14 1.36872398e+01 # -2.66453526e-14 -1.26142324e+01 5.88418203e-14 -2.08108882e+00] itf = dct_itf(tf, 16) #[ 1.00000000e+01 1.00000000e+01 1.00000000e+01 1.00000000e+01 # 1.04044927e-14 -1.82235671e-14 1.25468903e-14 -1.91825540e-14 # 1.00000000e+01 1.00000000e+01 1.00000000e+01 1.00000000e+01 # -1.00952955e-14 -4.41817496e-15 1.51469966e-14 -4.66237620e-15] itf_15 = dct_itf(tf[:15], 16) #[ 10.0254978 9.92448648 10.12262731 9.8349714 # 0.20108793 -0.22941956 0.24893473 -0.25888348 # 10.25888348 9.75106527 10.22941956 9.79891207 # 0.1650286 -0.12262731 0.07551352 -0.0254978 ]>