Gegeven de reële, vierkante en symmetrische matrix $$A$$, ($$N$$ rijen en $$N$$ kolommen). Het algoritme van Jacobi maakt het mogelijk (onder bepaalde, milde voorwaarden) de eigenwaarden en eigenvectoren van een dergelijke matrix te vinden, door toepassing van een reeks rotaties in $$N$$ dimensies. Elk van die rotaties, gekenmerkt door een rotatiematrix $$G_k$$ transformeert de matrix naar een nieuwe matrix $$G_k A G_k^T$$, met dezelfde eigenwaarden als de originele matrix. Deze getransformeerde matrix ligt dichter bij een diagonaalmatrix dan de niet-getransformeerde matrix. We passen deze procedure een vast aantal keer toe (dit is een argument van de te programmeren functie). De opeenvolgende rotatiematrices zijn dan $$G_0$$, $$G_1$$, ... De eigenwaarden zijn de diagonaalelementen van de matrix die je uiteindelijk bekomt, en de bijhorende eigenvectoren zijn de kolommen van de matrix $$G_0^T G_1^T G_2^T ... $$.

Schrijf de functie jacobi() met als argumenten de matrix $$A$$ (een NumPy-tabel met $$N$$ rijen en $$N$$ kolommen) en het aantal gewenste rotaties $$rot$$ met $$rot > 0$$ en geheel. Ga hierbij als volgt tewerk:

• Zolang het gewenst aantal rotaties niet uitgevoerd werd, worden onderstaande stappen uitgevoerd.
• Bepaal het tuple $$(i, j)$$, namelijk de rij en de kolom van het in absolute waarde grootste niet-diagonaalelement. Indien meerdere niet-diagonaalelementen in absolute waarde maximaal zijn, kies je het tuple waarvoor $$i\times N + j$$ minimaal is.
• Bepaal de rotatiematrix voor deze stap, $$G_k$$ uit
  • $$(G_k)_{ss} = 1$$ voor $$s \ne i$$ en $$s \ne j$$
  • $$(G_k)_{ss} = \cos \theta$$ voor $$s = i$$ en voor $$s = j$$
  • $$(G_k)_{ij} = \sin \theta$$
  • $$(G_k)_{ji} = - \sin \theta$$
  • Alle andere elementen van $$G_k$$ zijn gelijk aan 0
  Hierbij wordt de hoek $$\theta$$ bepaald uit:
  • $$\theta = \frac{\pi}{4}$$ indien $$|A_{ii} - A_{jj}| < 10^{-10}$$
  • $$\theta = \frac{1}{2} \arctan \frac{2 A_{ij}}{A_{jj} - A_{ii}}$$ indien $$|A_{ii} - A_{jj}| \ge 10^{-10}$$
• Pas de transformatie $$G_k A G_k^T$$ toe, en herhaal vorige stappen op die aangepaste matrix, tot het gewenst aantal rotaties uitgevoerd werd.

Het resultaat van de functie is een tuple, namelijk:

• een NumPy-rij met $$N$$ elementen, namelijk de gevonden eigenwaarden van $$A$$ (in de volgorde dat het hierbovengeschetste algoritme oplevert)
• een NumPy-tabel met $$N$$ rijen en $$N$$ kolommen, waarvan de kolommen de bijhorende eigenvectoren voorstellen

LET OP : het is NIET toegelaten om in deze oefening gebruik te maken van lijsten. De oplossing mag enkel gebruik maken van NumPy-rijen of tabellen.

Merk op dat je resultaat, ten behoeve van de evaluatie in Dodona, afgebroken wordt op 6 decimalen (de functie format_t() uit het verbeterscript zorgt hiervoor). Je resultaat wordt ook omgezet naar een lijst, maar let erop dat het resultaat van je functie WEL DEGELIJK een NumPy-tabel MOET zijn.

Voorbeeld

a = np.array([[1, 2, 3], [2, 0, -4], [3, -4, 5]])
b = jacobi(a, 5)
print(b[0]) #[-2.17620338  1.50802363  6.66817975]
print(b[1]) 
#[[ 0.8490197   0.52836119  0.        ]
# [-0.51026123  0.81993501 -0.25949963]
# [-0.13710953  0.2203203   0.96574321]]