Zij \(X\) een lukrake trekking uit de populatie van de bestudeerde karakteristiek en onderstel dat haar theoretische verdeling (bvb. de Normale verdeling) een gemiddelde \(\mu\) en variatie \(\sigma^2\) heeft. Onderstel bovendien dat we geïnteresseerd zijn in het gemiddelde \(\mu\) van die karakteristiek in de studiepopulatie. Dan kunnen we \(\mu\) schatten op basis van een eenvoudige lukrake steekproef, \(X_1,...,X_n\), als het (rekenkundig) gemiddelde
\[\begin{equation*} \bar X = \frac{X_1+ X_2+ ... + X_n}{n} = \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i}{n} \end{equation*}\]van de toevalsveranderlijken \(X_1,X_2, ..., X_n\). Dit wordt het steekproefgemiddelde genoemd. Het is belangrijk om te begrijpen dat het steekproefgemiddelde opnieuw een toevalsveranderlijke is, d.w.z. dat haar waarde zal variëren van steekproef tot steekproef. Hoewel er slechts 1 populatie is, zijn er heel wat verschillende steekproeven die men daaruit kan trekken. Dat heeft tot gevolg dat verschillende onderzoekers (die verschillende steekproeven uit dezelfde populatie analyseren) verschillende waarden zullen vinden voor het steekproefgemiddelde. Om die reden heeft het steekproefgemiddelde zelf een verdeling. Men zou die theoretisch kunnen bekomen door een oneindig aantal keer een steekproef van \(n\) experimentele eenheden uit de populatie te trekken, telkens het steekproefgemiddelde te berekenen en al deze steekproefgemiddelden vervolgens uit te zetten in een histogram.
We zullen in deze sectie de theoretische verdeling van het steekproefgemiddelde bestuderen. Dat is belangrijk (a) omdat ze ons inzicht geeft in welke mate het resultaat van de studie zou variëren indien men een nieuwe, gelijkaardige studie zou opzetten; en (b) omdat ze ons leert hoe ver \(\bar X\) van het gezochte populatiegemiddelde \(\mu\) kan afwijken. Omdat we slechts over 1 steekproef beschikken (en dus slechts over 1 observatie voor \(\bar X\)), is het niet evident hoe we inzicht kunnen ontwikkelen in de verdeling van het steekproefgemiddelde. In het vervolg van deze sectie tonen we hoe dit toch mogelijk is op basis van de beschikbare steekproef wanneer we bepaalde aannames doen over de gegevens.
In de praktijk hoopt men uiteraard dat de schattingen die men bekomt op
basis van de steekproef vergelijkbaar zijn met de overeenkomstige
populatieparameters die men voor de volledige populatie zou bekomen.
Of dat zo is, hangt er in eerste instantie vanaf of de steekproef
representatief is voor de studiepopulatie en bijgevolg of men al dan
niet lukraak individuen uit de populatie gekozen heeft ter observatie
(m.a.w. het hangt af van het design van de studie).
Omwille hiervan is het design van een studie van primair belang om lukrake en representatieve steekproeven te garanderen (zie Sectie 3.2). Zoals u doorheen deze cursus zult vaststellen, zullen de meeste wetenschappelijke rapporten daarom een gedetailleerde beschrijving geven van de manier waarop de data bekomen werden. Dit moet de lezer toelaten om de validiteit van de studie te beoordelen.
Algemeen zullen we met \(E(X)\), \(\text{Var}(X)\) en \(\text{Cor}(X,Y)\) respectievelijk het gemiddelde, de variantie en de correlatie noteren van 2 toevalsveranderlijken \(X\) en \(Y\) in de populatie. Deze worden respectievelijk de theoretische verwachtingswaarde van \(X\), theoretische variantie van \(X\) en theoretische correlatie van \(X\) en \(Y\) genoemd. Men zou ze bekomen door voor alle individuen in de populatie de karakteristieken \(X\) en \(Y\) op te meten en vervolgens respectievelijk het rekenkundig gemiddelde, de variantie en de Pearson correlatie te berekenen. Om die reden blijven de rekenregels voor gemiddelden en varianties geldig voor populatiegemiddelden en -varianties.
In de onderstelling dat we over een eenvoudige lukrake steekproef beschikken van metingen \(X_1,...,X_n\) voor een karakteristiek \(X\), volgen \(X_1,...,X_n\) allen dezelfde verdeling. In het bijzonder hebben ze allen gemiddelde \(\mu\) en variantie \(\sigma^2\); d.i. \(E(X_1)=...=E(X_n)=\mu\) en \(\text{Var}(X_1)=...=\text{Var}(X_n)=\sigma^2\). Het feit dat we subjecten 1 tot \(n\) lukraak uit de populatie getrokken hebben, staat er m.a.w. garant voor dat verdeling van de karakteristiek in deze steekproef representatief is voor de theoretische verdeling in de doelpopulatie. Gebruik makend van de rekenregels voor gemiddelden, vinden we bijgevolg dat:
\[\begin{eqnarray*} E(\bar X) &=& E \left(\frac{X_1+ X_2+ ... + X_n}{n}\right) \\ &= & \frac{E(X_1)+ E(X_2)+ ... + E(X_n)}{n} \\ &=& \frac{\mu + \mu + ... +\mu}{n} \\ &= & \mu \end{eqnarray*}\]Dit geeft aan dat het verwachte steekproefgemiddelde in een eenvoudige lukrake steekproef gelijk is aan het beoogde populatiegemiddelde \(\mu\). Men zegt dan dat \(\bar X\) een onvertekende schatter is voor \(\mu\). We kunnen in dat geval verwachten dat de waarde \(\bar x\) die we schatten voor \(\mu\) op basis van de steekproef, niet systematisch hoger of lager dan de gezochte waarde \(\mu\) zal zijn. Het spreekt voor zich dat dit een zeer wenselijke eigenschap is.
Een statistiek of schatter \(S\) voor een parameter \(\theta\) wordt onvertekend genoemd als haar theoretische verwachtingswaarde gelijk is aan die parameter, d.w.z. \(E(S)= \theta\).
Einde definitie